21.2 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen
Die Integrabilitätsbedingung
Der Vorteil an sternförmigen Gebieten ist, dass man alle Punkte durch eine geradlinige Verbindung von einem festen Punkt aus erreichen kann und dass Kurvenintegrale entlang von "‘geradlinigen Kurven"’ relativ leicht zu berechnen sind. Betrachten wir konkret ein Gebiet $U$, das sternförmig ist bezüglich des Punkts $\vec{p}\in U$. Die geradlinige Verbindung von $\vec{p}$ zu einem anderen Punkt $\vec{q}\in U$ können wir dann parametrisieren durch
$\vec{\gamma}:[0,1]\rightarrow U$ mit \(\vec{\gamma}(t)=\vec{p}+t(\vec{q}-\vec{p}).\)
Falls ein Vektorfeld $\vec{f}: U\rightarrow \mathbb{R}^ n$ ein Potential besitzt, dann ist
\(\begin{array}{rcl}\displaystyle\int\limits_{\gamma}\vec{f}\,\mathrm{d}\vec{s}&=&\displaystyle\int\limits_0^1\vec{f}(\vec{\gamma}(t))^T\cdot (\vec{q}-\vec{p})\,\mathrm{d}t=V(\vec{q})-V(\vec{p})\\\Rightarrow \;\;\;\;\;\;V(\vec{q})&=&V(\vec{p})+\displaystyle\int\limits_0^1\sum\limits_{j=1}^nf_j(\vec{p}+t(\vec{q}-\vec{p}))\cdot (q_j-p_j)\,\mathrm{d}t\end{array}.\)
Durch Verschieben des Koordinatensystems kann man erreichen, dass $\vec{p}=\vec{0}$ ist. Außerdem kann man \(V\) durch \(V-V(0)\) ersetzen. In diesem Fall ist dann
\(V(\vec{q})=\displaystyle\int\limits_0^1\vec{f}(t\vec{q})\cdot \vec{q}\,\mathrm{d}t=\int\limits_0^1\sum\limits_{j=1}^nf_j(t\vec{q})\cdot q_j\,\mathrm{d}t.\)
Sei \(U\subset \mathbb{R}^n\) ein bezüglich des Ursprungs sternförmiges Gebiet. Falls das stetig differenzierbare Vektorfeld \(\vec{f}: U\rightarrow \mathbb{R}^n\) für alle \(\vec{x}\in U\) die Integrabilitätsbedingung
\(\displaystyle\frac{\partial f_j}{\partial x_k}(\vec{x})=\displaystyle\frac{\partial f_k}{\partial x_j}(\vec{x})\)
erfüllt, dann besitzt \(\vec{f}\) das Potential\(V(\vec{x})=\displaystyle\int\limits_0^1\sum\limits_{j=1}^nf_j(t\vec{x})x_j\,\mathrm{d}t.\)
Mit anderen Worten, es ist \(\vec{f}(\vec{x})=\mathrm{grad}\, V(\vec{x})\).Beweis: Zunächst ist
\( \displaystyle\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\sum\limits_{j=1}^nf_j(t\vec{x})x_j\right)=f_k(tx)+t\left(\sum\limits_{j=1}^n\frac{\partial f_j}{\partial x_k}(t\vec{x})x_j\right)\;\;\;\text{und}\;\;\;\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}\left(t\cdot f_k(t\vec{x})\right)=f_k(t\vec{x})+t\left(\sum\limits_{j=1}^n\frac{\partial f_k}{\partial x_j}(t\vec{x})x_j\right). \)
Insbesondere ist also wegen \(\displaystyle\frac {\partial f_ j}{\partial x_ k}(t\vec{x})=\displaystyle\frac {\partial f_ k}{\partial x_ j}(t\vec{x})\)
\(\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\sum\limits_{j=1}^nf_j(t\vec{x})x_j\right)=\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}\left(t\cdot f_k(t\vec{x})\right).\)
Setzt man nun \(V(x)= \displaystyle \int \limits _0^1 \sum \limits _{j=1}^ n x_ j f_ j(t\vec{x}) \,\mathrm{d}t\) dann ergibt sich durch Differentiation
\(\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{\partial V}{\partial x_k}(\vec{x})&=&\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_k}\displaystyle\int\limits_0^1\sum\limits_{j=1}^nx_jf_j(t\vec{x})\,\mathrm{d}t=\displaystyle\int\limits_0^1\sum\limits_{j=1}^nx_j\frac{\partial }{\partial x_k}f_j(t\vec{x})\,\mathrm{d}t\\&=&\displaystyle\int\limits_0^1\frac{\partial }{\partial t}\left(t\cdot f_k(t\vec{x})\right)\,\mathrm{d}t=\left.t\cdot f_k(t\vec{x})\right|_{t=0}^1=f_k(\vec{x}).\end{array}\)
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Dabei haben wir unauffällig die Integration und die partielle Differentiation vertauscht, als wir \(\frac{\partial }{\partial x_ k}\) unter das Integralzeichen gezogen haben. Das ist hier erlaubt, man muss es aber eigentlich mathematisch beweisen und es gibt genügend Situationen, in denen das Vertauschen von Grenzprozessen zu falschen Ergebnissen führt.
Im \(\mathbb{R}^3\) kann man die Integrabilitätsbedingung auch noch anders formulieren:
Ist $\vec{f}$ ein konservatives Vektorfeld im $\mathbb{R}^3$, dann gilt $\mathrm{rot}\, \vec{f}=\vec{0}$, wobei die Rotation von $\vec{f}$ definiert ist als $\mathrm{rot}\, \vec{f}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} \displaystyle\frac {\partial f_3}{\partial y} - \displaystyle\frac {\partial f_2}{\partial z}\\ \displaystyle\frac {\partial f_1}{\partial z} - \displaystyle\frac {\partial f_3}{\partial x}\\ \displaystyle\frac {\partial f_2}{\partial x} - \displaystyle\frac {\partial f_1}{\partial y} \end{array} \right)$, siehe auch Kapitel 24.