21.2 Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen
Die notwendige Bedingung
Aus dem Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit der Reihenfolge beim partiellen Differenzieren folgt nun im Kontext von Vektorfeldern
Wenn ein stetig differenzierbares Vektorfeld \(\vec{f}\) ein Potential $V$ besitzt, dann ist
\(\displaystyle\frac{\partial f_{\color{red}{j}}}{\partial x_{\color{red}{k}}}(\vec{x})=\displaystyle\frac{\partial f_{\color{red}{k}}}{\partial x_{\color{red}{j}}}(\vec{x})\) für alle Indizes \(j,k\in\{1,2,\ldots,n\}.\)
Begründung: Wenn \(V\) ein Potential von \(\vec{f}\) ist, dann gilt zunächst nach Definition eines Potentials \(\displaystyle\frac {\partial V}{\partial x_ j}(\vec{x})=f_ j(\vec{x})\) und es ist
\(\displaystyle\frac{\partial f_j}{\partial x_k}(\vec{x})=\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_k}\displaystyle\frac{\partial V}{\partial x_j}(\vec{x})=\displaystyle\frac{\partial }{\partial x_j}\displaystyle\frac{\partial V}{\partial x_k}(\vec{x})=\displaystyle\frac{\partial f_k}{\partial x_j}(\vec{x}).\)
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Wenn ein Vektorfeld \(\vec{f}:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n\) ein Potential $V$ besitzt, dann gilt für jede stückweise stetig differenzierbare Kurve \(\vec{\gamma }: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n\)
\( \displaystyle\int\limits_{\vec{\gamma}}\vec{f}\,\mathrm{d}s=V(\vec{\gamma}(b)) -V(\vec{\gamma}(a)),\)
das heißt, das Kurvenintegral hängt nicht vom genauen Verlauf der Kurve, sondern nur von deren Anfangs- und Endpunkt ab.
Falls \(\gamma\) eine geschlossene Kurve ist, dann ist \(\displaystyle \int \limits _{\vec{\gamma }} \vec{f} \,\mathrm{d}\vec{s} =0\).
Beweis: Für die Funktion \(V\circ \vec{\gamma }:[a,b]\to \mathbb{R}\) ist
$\displaystyle\frac{d}{dt}V(\vec{\gamma}(t))=\sum\limits_{j=1}^n\displaystyle\frac{\partial V}{\partial x_j}(\vec{\gamma}(t))\cdot \dot{\vec{\gamma}}_j(t)=\sum\limits_{j=1}^nf_j(\vec{\gamma}(t))\cdot \dot{\vec{\gamma}}_j(t).$
Nach der Definition des Kurvenintegrals ist daher
\( \displaystyle\int\limits_{\vec{\gamma}}f\,\mathrm{d}s=\int\limits_a^b\displaystyle\sum\limits_{j=1}^nf_j(\vec{\gamma}(t))\cdot \dot{\vec{\gamma}}_j(t)\,\mathrm{d}t=\int\limits_a^b\displaystyle\frac{d}{dt}V(\vec{\gamma}(t))\,\mathrm{d}t=V(\vec{\gamma}(b))-V(\vec{\gamma}(a)).\)
Falls \(\vec{\gamma }\) eine geschlossene Kurve ist, dann ist \(\vec{\gamma }(a)=\vec{\gamma }(b)\) und damit \(V(\vec{\gamma }(b))-V(\vec{\gamma }(a))=0\).
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