Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen

Bei der wichtigen Frage, ob der Wert eines Kurvenintegrals unabhängig von der genauen Kurve ist und nur von den Endpunkten der Kurve abhängt, spielt die folgende Eigenschaft von Vektorfeldern die größte Rolle.

Definition (Potential, konservatives Vektorfeld):

Sei $U \subseteq \mathbb{R}^n$ und $\vec{f}: U \rightarrow \mathbb{R}^ n$ ein stetiges Vektorfeld.
Ein Potential oder eine Stammfunktion von $\vec{f}$ ist eine stetig differenzierbare Funktion $V: U \rightarrow \mathbb{R}$ mit \(\mathrm{grad}\, V(\vec{x}) = \vec{f}(\vec{x})\) beziehungsweise in Komponenten aufgeschlüsselt \(\displaystyle\frac {\partial V}{\partial x_ j}(\vec{x})=f_ j(\vec{x})\).

Umgekehrt nennt man ein Vektorfeld, das ein Potential besitzt, ein konservatives Vektorfeld. konservativ

Beispiel:
Das Vektorfeld \(\vec{f}(x,y)=\left(\!\begin{array}{cc} 3x^2y^2 \\ 2x^3y\end{array}\!\right)\) besitzt das Potential \(V(x,y)=x^3y^2\), weil

\(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial x} = 3x^2y^2\) und \(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial y} = 2x^3y\)

ist.

Bemerkung:

Physiker haben eine andere Vorzeichenkonvention. Bei ihnen wird das Potential immer so gewählt, dass \(\mathrm{grad}\, V(\vec{x})= -\vec{f}(\vec{x})\) ist. Das Vektorfeld \(\vec{f}\) zeigt dann in die Richtung, in die \(V\) am schnellsten abnimmt.

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