19.1. Funktionen im R^n

Eine Teilmenge $M\subset \mathbb {R}^n$ heißt kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist, d.h. wenn es

1. eine Zahl $C>0$ gibt, so dass \(|\vec{x}|\leq C\) ist für alle Punkte $\vec{x}\in M$ und

2. jeder Randpunkt von \(M\) zu \(M\) gehört.

1. Die abgeschlossene Kreisscheibe \( \{ (x,y)\in \mathbb {R}^2;\; x^2+y^2\leq r^2\}\) vom Radius r ist eine kompakte Menge im \(\mathbb {R}^2\).
2. Die Oberfläche der Einheitskugel $\{ x,y,z)\in \mathbb {R}^3;\; x^2+y^2+z^2=1 \}$ ist eine kompakte Menge im $\mathbb {R}^3$.
3. Ein abgeschlossener n-dimensionaler Quader $\{ (x_1,x_2,\dots ,x_n)\in \mathbb {R}^n;\;a_1\leq x_1\leq b_1,\;a_2\leq x_2\leq b_2, \dots ,a_n\leq x_n\leq b_n\} $ ist eine kompakte Menge im $\mathbb {R}^n$.

Sei $K\subset \mathbb {R}^n$ eine kompakte Menge und $f:K\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Dann nimmt die Funktion ihr Maximum und ihr Minimum auf $K$ an. Es gibt also $\vec{x}_{min}\in K$ und \(\vec{x}_{max}\in K\), so dass für alle $\vec{x}\in K$ die Ungleichung

\( f(\vec{x}_{min})\leq f(\vec{x})\leq f(\vec{x}_{max}) \)

gilt. Insbesondere ist die Funktion \(f\) damit auf \(K\) beschränkt.

Das Minimum und/oder das Maximum kann auch in mehreren Punkten angenommen werden.

Die Funktion \(f(x,y)=x^2+2y^2\) nimmt auf der kompakten Menge

\(D=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2;\; x^2+y^2\leq 1\}\)

(einer Kreisscheibe mit Radius 1 um den Nullpunkt) ihr Minimum im Punkt (0,0) und ein Maximum in den beiden Punkten (0,-1) und (0,1) an.

Das bedeutet, dass alle Funktionswerte von \(f(x,y)\) mit einem Punkt \((x,y)\in D\) immer zwischen \(f(0,0)=0\) und \(f(0,\pm 1)=2\) liegen. Wie man diese Punkte bestimmt, wird noch ausführlich Thema im kommenden Kapitel sein.

Dass es solche Punkte jedoch auf jeden Fall geben muss, das sagt der gerade behandelte abstrakte Satz.