Funktionen im $\mathbb{R}^n$

Viele Größen, die in Naturwissenschaften und Technik vorkommen, hängen nicht nur von einer Unbekannten ab, sondern ändern sich in Abhängigkeit von mehreren Variablen.

Solche Funktionen kommen in den verschiedensten Bereichen vor:

  • Die Temperaturverteilung in einem Raum wird beschrieben durch eine Funktion T(x,y,z), die von den drei Ortsvariablen x, y und z abhängt.

  • Bei Koordinatentransformationen stellt man die "neuen" Koordinaten als Funktion der "alten" Koordinaten dar (oder umgekehrt), zum Beispiel beim Übergang zu Polarkoordinaten

    \( x=x(r,\varphi)=r\cos(\varphi) \), \( \; y=y(r,\varphi)=r\sin(\varphi)\)

In diesem Kapitel verallgemeinern wir vieles, was wir im ersten Semester für Funktionen von einer Variable gelernt haben auf mehrdimensionale Funktionen, zum Beispiel die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit, aber auch die Suche nach Maxima und Minima einer Funktion.

Wir befassen uns als Erstes mit Funktionen, deren Werte reelle Zahlen sind, die aber von mehreren Variablen abhängen:

Definition (Funktion mehrerer Veränderlicher):
Sei \(U \subseteq \mathbb {R}^ n\). Eine Funktion $f \colon U \to \mathbb {R}$ mit \(f(\vec{x}) = f(x_1, x_2,\ldots ,x_n)\) heißt (skalare) Funktion in n Variablen.

Beispiele:

Einige Beispiele für Funktionen mehrerer Veränderlicher sind

\(\begin{array}{rcl} f_1(x,y)&=&2x-xy+2y\,\,\textrm{ auf }\,\, U=\mathbb{R}^2\\ & & \\ f_2(x,y,z)&=&\cos(y+z)+\ln(x+y)\,\,\textrm{ auf }\,\,U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\,\,x+y>0\}\subset\mathbb{R}^3\\ & & \\f_3(\vec{x})&=&|\vec{x}|^2=x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\,\,\textrm{ auf }\,\,U=\mathbb{R}^n\end{array}\)

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