Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung als System schreiben

Wir können diese lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung umwandeln, indem wir

$x_1(t)=x(t),\quad x_2(t)=x'(t),\quad\ldots,\quad x_n(t)=x^{(n-1)}(t)$

setzen. Wir erhalten dann als äquivalentes System

$\begin{array}{rcl}x_1'(t)&=&x_2(t)\\x_2'(t)&=&x_3(t)\\\vdots&&\vdots\\x_{n-1}'(t)&=&x_n(t)\\x_n'(t)&=&-a_0(t)x_1(t)-a_1(t)x_2(t)-\ldots-a_{n-1}(t)x_n(t)+b(t)\end{array}$

oder in der Matrix-Schreibweise des vorigen Abschnitts

$\left(\!\!\begin{array}{c}x_1'(t)\\x_2'(t)\\\vdots\\x_{n-1}'(t)\\x_n'(t)\end{array}\!\!\right)= \left(\!\!\begin{array}{ccccc}0&1&0&\ldots&0\\0&0&1&&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\ldots&1\\-a_0&-a_1&-a_2&\ldots&-a_{n-1}\end{array}\!\!\right)\left(\!\!\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\\vdots\\x_{n-1}(t)\\x_n(t)\end{array}\!\!\right) +\left(\!\!\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\0\\b(t)\end{array}\!\!\right).$

Beispiel:

Betrachte konkret die lineare Differentialgleichung

$x'''(t)-3x''(t)+7x'(t)+2x(t)=\cos(2t)$.

Diese Differentialgleichung 3.Ordnung lässt sich als System von Differentialgleichungen für die drei Funktionen $x_1(t)=x(t)$, $x_2(t)=x'(t)$ und $x_3(t)=x''(t)$ schreiben, und zwar als

$\begin{array}{rcl}x_1'(t)&=&x_2(t)\\x_2'(t)&=&x_3(t)\\x_3'(t)&=& -2 x_1(t)-7 x_2(t)+3 x_3(t)+\cos(2t)\end{array}$

oder entsprechend in Matrix-Form

$\left(\!\begin{array}{c}x_1'(t)\\x_2'(t)\\x_3'(t)\end{array}\!\right)= \left(\!\begin{array}{rrr}0&1&0\\0&0&1\\-2&-7& 3\end{array}\!\right) \left(\!\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\\x_3(t)\end{array}\!\right)+\left(\!\begin{array}{c}0\\0\\ \cos(2t)\end{array}\!\right).$

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