Vorspann: Worum geht es?

In diesem Abschnitt lösen wir Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung

\(\vec{x}'=A\,\vec{x},\;\;\, \vec{x}=\left(\!\begin{array}{c}x_1\\ \vdots\\x_n\end{array}\!\right)\)

mit einer \(n\times n\)-Matrix \(A\), die nicht von t abhängt. Man nennt dies auch ein System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten im Gegensatz zu nicht-autonomen linearen Differentialgleichungen, bei denen die Koeffizienten der Matrix \(A\) noch von t abhängen dürfen.

Wir wissen aus Abschnitt 17.1 schon, dass es n linear unabhängige Lösungen dieser Differentialgleichung gibt, und dass man mit Hilfe des Superpositionsprinzips aus diesen n Lösungen zu jedem Anfangswert die eindeutige Lösung konstruieren kann.

Im Unterschied zu den nicht-autonomen linearen Differentialgleichungen lassen sich im Fall der konstanten Koeffizienten die einzelnen Lösungen (mehr oder weniger) explizit berechnen.

Hier können wir einiges von dem anwenden, was wir im ersten Semester über Matrizen gelernt haben, insbesondere unsere Kenntnisse über Eigenwerte und Eigenvektoren und über das Diagonalisieren von Matrizen.

Wenn Du noch einmal die wichtigsten Fakten zu Eigenwerten und Eigenvektoren in Erinnerung rufen willst, dann kannst Du die Kurzzusammenfassung dazu anschauen.