Inhaltliche Informationen
Dieses Seminar beschäftigt sich mit maßerhaltenden dynamischen Systemen, Ergodentheorie, Perkolation, Random-Cluster Modellen und Random fields.
Zu Beginn werden wir uns mit der Ergodentheorie für maßerhaltende dynamische Systeme beschäftigen. Diese Theorie untersucht das statistische Langzeitverhalten dynamischer Systeme und findet seinen Ursprung in der statistischen Physik, wo man makroskopische Größen durch Mittelwerte über Mikrozuständen beschreiben will. Dabei stehen Begriffe wie Invarianz, Ergodizität, Mischungsbegriffe und rekurrentes Verhalten im Vordergrund. Zentrale Resultate wie der Ergodensatz von Birkhoff und seine Konsequenzen für langfristiges Mittelungsverhalten werden erarbeitet und diskutiert.
Als nächstes wollen wir uns mit den Grundlagen aus der Ergodentheorie die Perkolation auf dem Gitter anschauen. Die Perkolation beschreibt das zufällige Auftreten unendlicher zusammenhängender Komponenten in Netzwerken. Dieser Prozess ist sowohl in der Theorie von grundlegender Bedeutung als auch in der Praxis hoch relevant: Er erklärt beispielsweise die Ausbreitung von Infektionen in Populationen, die Durchlässigkeit poröser Medien in der Physik, sowie die Weiterleitung von Signalen. Für eine Einführung in die Ergodentheorie und Perkolation auf dem Gitter, bietet das Buch "Wahrscheinlichkeitstheorie" von Achim Klenke eine sehr gute Grundlage. Ebenfalls können dort nochmal allgemeine Ergebnisse aus der Wahrscheinlichkeitstheorie gut nachvollzogen werden. Dieses Buch lässt sich kostenlos über den folgenden Link herunterladen: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-62089-2
Ein weitere gute Grundlage für Perkolationstheorie bietet das Buch "Percolation" von Geoffrey Grimmett, welches man durch die RUB auf der folgenden Seite kostenlos downloaden kann: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-03981-6
Darüber hinaus stellt die Perkolation ein vielseitiges Werkzeug dar, um unterschiedlichste komplexe Systeme zu analysieren. Sie liefert Einblicke in kritische Phänomene und Phasenübergänge, die für das Verständnis solcher Systeme unerlässlich sind. Wir wollen in diesem Seminar auch Random-Cluster Modelle genauer betrachten, welche verallgemeinerte Perkolationsmodelle mit zusätzlichen Clustergewichten sind und damit eine Brücke zwischen Geometrie zufälliger Graphen und statistischer Physik schlagen. Typische Fragestellungen in solchen Modellen sind Existenzen von Phasenübergängen, welche mit Hilfe von Monotonieeigenschaften der Modelle bewiesen werden können. Diese Theorie wurde von Geoffrey Grimmett wesentlich mitentwickelt und lässt sich in seinem Buch "The Random-Cluster Model" gut nachvollziehen. Dieses kann auf der folgenden Seite heruntergeladen werden:
https://www.statslab.cam.ac.uk/~grg1000//books/rcm.html
Abschließend untersuchen wir ungeordnete Systeme, welche zufällige Störungen von Systemen mit exakten Symmetrien darstellen. Insbesondere schauen wir uns das Paper "Long range order for random field Ising and Potts models" von Ding und Zhuang (2023)
an, welches sich insbesondere mit dem Random-field Ising und Potts Model beschäftigt. Hier wird gezeigt, dass langreichweitige Abhängigkeiten existieren, d.h. es existieren nicht verschwindende Korrelationen über beliebig große Distanzen hinweg. Dort wird eine Erweiterung des Peierls Argumentes benutzt, welches auch im gewöhnlichen Ising Modell verwendet wird, um Phasenübergänge nachzuweisen. Das oben genannte Paper lässt sich unter dem folgenden Link finden: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/cpa.22127
Um wechselwirkende Systeme studieren zu können, benötigt man die Theorie von Gibbs-Maßen. Durch deren abstrakte Theorie, können bereits eine Vielzahl an Aussagen für Modelle getroffen werden, ohne diese im Detail zu studieren. Ein guter Überblick über diese Theorie gibt das Buch "Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction" von Sacha Friedli und Yvan Velenik, welches kostenlos unter dem folgenden Link erhältlich ist: https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/
