A dynamical system consists of a set, called the "phase space," and a rule describing how the system changes over time. If this "time" is continuous, dynamical systems are described by differential equations. However, in this course, we will mainly focus on iterations of the form x(n+1) = F(x(n)), where "time" progresses in discrete steps. Our primary interest lies in the long-term behavior of these systems: Are there periodic solutions? How do typical solutions behave? How can "chaotic" behavior be described? How is the "mixing" of the phase space measured? To answer these questions, we will explore fundamental concepts, techniques, and typical examples. More specifically, we will address topics such as (in)stability, sensitive dependence on initial conditions, topological entropy, symbolic dynamics, rotation numbers, hyperbolic sets, and chaos.
Ein dynamisches System besteht aus einer Menge, dem sogenannten Phasenraum, und einer Vorschrift, die beschreibt, wie sich das System im Laufe der Zeit verändert. Ist die „Zeit“ kontinuierlich, so werden dynamische Systeme durch Differentialgleichungen beschrieben. In dieser Veranstaltung konzentrieren wir uns jedoch hauptsächlich auf Iterationen der Form x(n+1)=F(x(n))x(n+1) = F(x(n)), bei denen die „Zeit“ in diskreten Schritten fortschreitet. Unser zentrales Interesse gilt dem Langzeitverhalten solcher Systeme: Gibt es periodische Lösungen? Wie verhalten sich typische Lösungen? Wie lässt sich „chaotisches“ Verhalten beschreiben? Wie wird die „Durchmischung“ des Phasenraums gemessen? Um diese Fragen zu beantworten, werden wir grundlegende Konzepte, Techniken und typische Beispiele kennenlernen. Konkret werden wir unter anderem Themen wie (In-)Stabilität, empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen, topologische Entropie, symbolische Dynamik, Rotationszahlen, hyperbolische Mengen und Chaos behandeln.
- Kursleiter/in: Alberto Abbondandolo