Funktionalanalysis ist für viele Bereiche der Mathematik hilfreich oder sogar wessentlich:
- Differentialgleichungen
- Numerischemethoden
- Differentialgeometrie
- Ergodentheorie
- Signalverarbeitung
- Quantenmechanik
Werkzeuge der Funktionalanalysis spielen auch hinter den Kulissen in einem breiteren Spektrum von Bereichen eine Rolle. Zum Beispiel treten der Spektralsatz für kompakte Operatoren und die schwach-*-Topologie in der Wahrscheinlichkeitstheorie auf, während der Satz von Hahn-Banach in der theoretischen Grundlage von maschinelles Lernen vorkommen kann.
Die allgemeine Philosophie:
In der Funktionalanalysis nehmen wir die Perspektive ein, dass komplizierte Objekte wie Funktionen als Punkte in einem Raum betrachtet werden können (ähnlich wie wir Zahlen als Punkte auf einer Linie betrachten). Der Raum ist jedoch typischerweise „unendlich-dimensional“, was verschiedene Herausforderungen mit sich bringt. Dennoch schauen wir uns an, wie Probleme in endlich-dimensionalen Räumen behandelt werden, und versuchen, eine solche Vorgehensweise auf unendlich-dimensionale Räume zu übertragen. Das Ergebnis ist ein äußerst mächtiges Werkzeugset.
Kann ich den Kurs ohne Analysis 3?
Idealerweise haben Sie den Kurs Analysis 3 gehört. Falls Sie nur Analysis 1+2 gehört haben, ist es trotzdem möglich, an diesem Kurs teilzunehmen, wenn Sie sich vorbereiten, indem Sie ein wenig über die Funktionsweise des Lebesgue-Integrals und grundlegende Konzepte der Topologie lernen. Dazu können die Hinweise im Block ``Zusätzliche Notizen für eine Vorbereitung des Kurses'' im Moodlekurs hilfreich sein.
- Kursleiter/in: Barney Bramham