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Die Vorlesung wird im ersten Abschnitt die Theorie der Hopf Algebren und ihre Darstellungen behandeln. Das Ziel werden einige Strukturtheoreme sein, die eine große Klasse von Hopf Algebren klassifizieren (Theorem von Cartier-Gabriel). Im zweiten Abschnitt dieser Vorlesung werden wir uns mit einer speziellen Klasse von Hopf Algebren, nämlich den Quantengruppen beschäftigen. Wir werden im Anschluss mehrere Anwendungen diskutieren, z.B. in der Darstellungstheorie von Lie Algebren, Knotentheorie und Kristallinen Basen sowie Lusztig's PBW Theorem beweisen.