Kurven- und Flächenintegrale

Es gibt einige erstaunliche Zusammenhänge zwischen Kurven-, Oberflächen- und Volumenintegralen, die insbesondere in der Strömungslehre und im Zusammenhang mit elektrischen und magnetischen Feldern oft angewendet werden und die andererseits auch als eine mehrdimensionale Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung aufgefasst werden können. Damals ging es darum, ein Integral der Form

$\displaystyle\int\limits_a^bf(x)\mathrm{d}x$

zu berechnen und der Hauptsatz sagte aus, dass es dafür genügt, eine andere Funktion $F$, die Stammfunktion, am Rand des Integrationsbereichs auszuwerten. Man kann also das Integral von $f$ über das Intervall $[a,b]$ berechnen, indem man die Werte von $F$ am Rand des Intervalls mit den richtigen Vorzeichen aufsummiert.

Der Satz von Green spielt sich eine Raumdimension höher ab. Er stellt eine Beziehung zwischen dem Doppelintegral über ein Gebiet und dem Wegintegral entlang der Randkurve dieses Gebiets her. Wir werden später sehen, dass man den Satz von Green als Spezialfall des Satzes von Gauß auffassen kann, bei dem man noch eine Dimension höher geht und ein Volumenintegral durch ein Oberflächenintegral ausdrückt. Aus diesem Grund wird der Satz von Green manchmal auch Gaußscher Integralsatz in der Ebene genannt.

Satz (Satz von Green):
Sei $D$ ein Gebiet in der x-y-Ebene, dessen Rand eine stückweise differenzierbare Kurve $\vec{\gamma }$ ist. Falls $f(x,y) $ und $g(x,y)$ partiell differenzierbar sind und diese partiellen Ableitungen in $D$ stetig sind, dann ist

$\displaystyle\iint_D\left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\displaystyle\int_{\vec{\gamma}}\left(\begin{array}{c}f(x,y)\\g(x,y)\end{array}\right)\mathrm{d}\vec{s}$

wobei man die Kurve $\vec{\gamma }$ im mathematisch positiven Sinn (also gegen den Uhrzeigersinn) durchläuft.

Sie haben 80% der Lektion erledigt.
80%