Implizite Gleichungen

Um eine Funktion $g: (a,b)\to \mathbb{R}$ mit den Methoden der Differentialrechnung zu untersuchen, verlangt man normalerweise, dass die Funktion $g$ explizit in der Form $y=g(x)$ gegeben ist. Manchmal hat man allerdings nur einen impliziten Zusammenhang zwischen x und y gegeben, beispielsweise durch eine Gleichung $f(x, y) = 0$. Das bekannteste Beispiel dafür ist die Kreisgleichung $x^2+y^2-1=0$.

Man versucht nun, diese implizite Gleichung nach $y$ aufzulösen, d.h. man versucht eine Funktion $y = g(x)$ zu finden, so dass $f(x, g(x)) = 0$ ist. Die Funktion $g$ wird also durch die Gleichung $f(x,y)=0$ implizit definiert.

Die schlechte Nachricht ist, dass sich eine implizite Gleichung im allgemeinen weder nach $x$ noch nach $y$ auflösen lässt. Wenn man sein Ziel jedoch etwas niedriger steckt und nur lokal , also in der Nähe eines Punktes $(x_0,y_0)$, für $f(x_0,y_0)=0$ eine Auflösung nach $x$ oder $y$ anstrebt, dann sieht die Sache schon besser aus.