Schwerpunkte

Mehrfache Integrale treten in der Technischen Mechanik sehr häufig auf. Sie dienen dazu, Massen, Schwerpunktskoordinaten, Trägheitsmomente oder Flächenträgheitsmomente zu berechnen.

Satz (Volumen und Schwerpunkt):

Ein Körper \(K \subset \mathbb{R}^3 \) mit der Massendichte \(\varrho (x,y,z)\) hat das Volumen \(V = \displaystyle \iiint \limits _ K 1 \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\) und die Masse \(M = \displaystyle \iiint \limits _ K \varrho (x,y,z)\, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z\).

Sein Schwerpunkt \(S= (x_ S,y_ S,z_ S)\) hat die Koordinaten

\(\begin{array}{rcl} x_s&=&\displaystyle\frac{1}{M}\cdot \displaystyle\iiint\limits_Kx\cdot \varrho(x,y,z)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\y_s&=&\displaystyle\frac{1}{M}\cdot \displaystyle\iiint\limits_Ky\cdot \varrho(x,y,z)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\;\; \text{und}\\z_s&=&\displaystyle\frac{1}{M}\cdot \displaystyle\iiint\limits_Kz\cdot \varrho(x,y,z)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\end{array}\)

Beispiel:

Um den Schwerpunkt eines Kegels $K$ aus homogenem Material ($\varrho = 1$) zu berechnen,
wählt man ein "gutes" Koordinatensystem, beispielsweise mit dem Ursprung im Mittelpunkt der Grundfläche
von $K$ und mit der $z-$Achse als Symmetrieachse.
Der Körper $K$ lässt sich dann in Zylinderkoordinaten in der Form

\(K=\{0\leq r\leq R,\;\;0\leq \varphi\leq 2\pi ,\;\;0\leq z \leq h - \frac{h}{R}r\}\)

darstellen. Aus Symmetriegründen muss \(x_ S = y_ S = 0\) sein. Es bleibt also nur die $z$-Koordinate zu bestimmen. Wegen \(\varrho =1\) entspricht die Masse dem Volumen des Kegels, also

\(M=\frac{1}{3}\cdot \text{Grundfläche}\cdot \text{Höhe}=\frac{1 }{3}\cdot \pi R^2\cdot h.\)

Daher erhält man unter Verwendung von Zylinderkoordinaten

\( z_S = \displaystyle\frac{1}{M}\displaystyle\iiint\limits_K\!z \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
= \frac{1}{M} \int\limits_0^{2\pi}\!\int\limits_0^{R}\!\int\limits_0^{h-\frac{hr}{R}} z \cdot r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi
 = \displaystyle\frac{2\pi}{M}\int\limits_0^{R}\!\frac{1}{2}\left(h^2-2\frac{h^2r}{R}+\frac{h^2r^2}{R^2}\right)r\,\mathrm{d}r = \frac{\pi}{12} \cdot h^2 \cdot R^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{M} \)

und somit als Ergebnis

\( z_S=\frac{1}{4}\cdot h. \)

Das passt auch gut zur Anschauung: Da der größte Teil der Masse nahe der Grundfläche ist, muss auch der Schwerpunkt relativ tief liegen.