22.2 Normalbereiche
Normalbereiche
22.2 Normalbereiche
Es ist immer noch etwas umständlich, eine Funktion $f$, die man über eine kompakte Menge \(K\in \mathbb {R}^2\) integrieren möchte, auf ein Rechteck $R$ fortzusetzen und dann über dieses Rechteck zu integrieren. Um in konkreten Situationen Integrationen tatsächlich durchzuführen, zerlegt man das Integrationsgebiet in "angenehme" Teile, bei denen man die Integration direkt durchführen kann.
Eine kompakte Menge \(K\subset \mathbb {R}^2\) heißt Normalbereich bezüglich der x-Achse, wenn $K$ sich schreiben lässt als
\(K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\,a\leq x\leq b\) und \(g_1(x)\leq y\leq g_2(x)\},\)
wobei \(g_1,g_2:[a,b]\to \mathbb {R}\) stetige Funktionen sind.
Analog heißt \(M\subset \mathbb {R}^2\) Normalbereich bezüglich der $y$-Achse, wenn
\(M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\,c\leq y\leq d\,\) und \(\;h_1(y)\leq x\leq h_2(y)\}.\)
Man nennt einen Normalbereich regulär, wenn die Begrenzungskurven \(g_1\) und \(g_2\), bzw. \(h_1\) und \(h_2\) stetig differenzierbar sind.
Im \(\mathbb {R}^2\) wird ein Viertelkreis durch den Normalbereich
\(V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\,0\leq x\leq 1,\,0\leq y\leq\sqrt{1-x^2}\}\)
bezüglich der x-Achse beschrieben, das heißt, hier sind \(g_1(x)=0\) und \(g_2(x)=\sqrt {1-x^2}\).Wir betrachten den Kreisring \(R=\{ (x,y)\in \mathbb {R}^{2};\, 4\leq x^2+y^2\leq 9\} \). Bei \(R\) handelt es sich nicht um einen Normalbereich, aber \(R\) lässt sich in mehrere Normalbereiche zerlegen:
Versuchen Sie am besten selbst, die eingezeichneten vier Normalbereiche durch Ungleichungen zu beschreiben.
Die Zerlegung in Normalbereiche ist eine wichtige Hilfe bei der Integration über mehrdimensionale Bereiche.
Ist \(K=\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2;\,a\leq x\leq b\) und \(g_1(x)\leq y\leq g_2(x)\} \) ein Normalbereich bezüglich der x-Achse und ist \(f\colon K\to \mathbb {R}\) eine stetige Funktion, dann ist $f$ integrierbar über \(K\) und es gilt
\(\displaystyle\iint_Kf(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.\)
Analog ist für einen Normalbereich \(M=\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2;\,c\leq y\leq d\) und \(h_1(y)\leq x\leq h_2(y)\}\) bezüglich der y-Achse
\(\displaystyle\iint_Mf(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.\)
Speziell für den Viertelkreis mit \(x\in [a,b]=[0,1]\) und \(g_1(x)=0\leq y\leq \sqrt {1-x^2}=g_2(x)\) erhält man
\(\begin{array}{rcl}\displaystyle\iint\limits_V1\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y&=&\displaystyle\int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{1-x^2}}1\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x\\&=&\left[\frac{1}{2}\arcsin(x)+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}\right]_{x=0}^{1}=\displaystyle\frac{1}{4}\pi\end{array}.\)