Parametrisierte Flächen

23.1 Parametrisierte Flächen

Flächen im \(\mathbb {R}^3\) interessieren uns aus verschiedenen Gründen. Zum einen sind die Oberflächen vieler räumlicher Körper gekrümmte Flächen und wenn wir den Oberflächeninhalt berechnen wollen, dann müssen wir Flächeninhalte solcher gekrümmter Flächen bestimmen können. Zum anderen kann man viele Eigenschaften von Vektorfeldern im \(\mathbb{R}^3\) untersuchen, indem man den "Fluss" durch geeignete meist geschlossene Flächen betrachtet. Das Vektorfeld entspricht dabei anschaulich einer Strömung und wir messen, wieviel in einer festen Zeit durch eine vorgegebene Fläche fließt.

Beispiel (Massenerhaltung)
Wir betrachten ein große (gedachte) Kugel, die zur Zeit t=0 s genau 1 kg Luft (und sonst nichts) enthält. Durch Strömungen und Temperaturunterschiede ändert sich die Menge an Luft in unserer gedachten Kugel. Da aber keine Luft in der Kugel neu "erzeugt" wird, könnten wir zu jedem Zeitpunkt das genaue Gewicht der Luft in der Kugel angeben, wenn wir nur die Zu- und Abflüsse an der Oberfläche genau messen könnten. Der "Fluss" durch eine Fläche verrät also etwas über das eingeschlossene Volumen.

Die meisten von uns haben eine klare Vorstellung davon, was eine Fläche ist: Sie sollte in zwei Richtungen ausgedehnt und in der dritten Richtung "unendlich dünn" sein. Wenn man allerdings in die Feinheiten geht, dann ist die Sache schon nicht mehr so klar:

  • Darf eine Fläche sich selbst schneiden?
  • Hat eine Fläche einen "Rand" oder nicht?
  • Darf eine Fläche "gefaltet" oder "geknickt" sein?

Dies sind in der Mathematik durchaus subtile Fragen, die zu teilweise recht kompliziert erscheinenden Definitionen führen. Hier betrachten wir die Dinge relativ pragmatisch. Unser Prototyp einer Fläche sind offene Teilmengen des $\mathbb {R}^2$, also beispielsweise ein Rechteck, eine Kreisscheibe oder die gesamte Ebene. Eine glatte Fläche erhält man dann aus diesem Prototyp, indem man ihn mit einer differenzierbaren Abbildung in den $\mathbb {R}^3$ schickt.

Definition (parametrisierte Fläche):

Eine Teilmenge \(S\subset \mathbb{R}^3\) heißt parametrisierte Fläche, wenn es eine offene Teilmenge \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) und eine bijektive, differenzierbare Abbildung \(\vec{\Phi }:\Omega \to \mathbb{R}^3\) gibt, so dass

\( S=\vec{\Phi}(\Omega)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^3;\vec{x}=\vec{\Phi}(u,v)\) für ein \((u,v)\in\Omega\}. \)

Figures/parametrisierte_flaeche

Die Fläche heißt regulär, falls die beiden Vektoren \(\displaystyle\frac {\partial \vec{\Phi }}{\partial u}(u,v)=\vec{\Phi }_u(u,v)\) und \(\displaystyle\frac{\partial \vec{\Phi }}{\partial v}(u,v)=\vec{\Phi }_v(u,v)\) im \(\mathbb{R}^3\) für alle \((u,v)\in \Omega\) linear unabhängig sind.

Die Fläche wird also durch die drei Gleichungen

\( x=\Phi_1(u,v),\;\;\; y=\Phi_2(u,v),\;\;\;z=\Phi_3(u,v) \)

beschrieben. In der Praxis ist es oft genau umgekehrt. Die Menge \(S\) ist vorgegeben und man sucht eine passende Menge \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) sowie eine Abbildung \(\vec{\Phi }\), die ein Stück der Ebene genau auf die Menge \(S\) abbildet. Dafür gibt es kein Patentrezept, aber es hilft, wenn man sich ein wenig mit Polar- und Kugelkoordinaten befasst, denn viele Flächen, die eine gewisse Symmetrie aufweisen, lassen sich damit am besten parametrisieren.

Es kann auch nötig sein, eine Fläche zuerst in mehrere Stücke zu unterteilen und diese einzeln zu parametrisieren.