19.2: Partielle Ableitungen
Definition der partiellen Ableitung
Stellt man eine Funktion $f:U\to \mathbb {R}$ von einer Variablen als Schaubild dar, so ergibt sich eine Kurve mit den Punkten $(x,f(x)),\;\; x\in U$. Die Ableitung von $f$ ist dann anschaulich die Steigung der Tangente an diese Kurve.
Bei der graphischen Darstellung einer Funktion von zwei Variablen ist das Schaubild dagegen eine Fläche mit den Punkten \((x,y,f(x,y)\) wobei \((x,y)\in U\) liegt. Die Frage
"Welche Steigung hat diese Fläche an der Stelle \((x_0,y_0,f(x_0,y_0))?\)"
ist zunächst einmal sinnlos, denn die Steigung hängt ab von der Richtung, in der man sich von $(x_0,y_0)$ aus bewegt. Man kann aber Fragen wie
"Wie ist die Steigung der Fläche in Richtung der x–Achse?"
ganz analog wie im Eindimensionalen beantworten. Dies führt auf die erste Definition einer "Ableitung" von mehrdimensionalen Funktionen.
Es sei \(f\) eine auf der offenen Menge \(U\subseteq \mathbb {R}^2\) definierte Funktion und ein Punkt $(x_0,y_0) \in U$ gegeben.
Die Funktion $f$ heißt in diesem Punkt \((x_0,y_0)\) partiell differenzierbar nach x, wenn die Funktion $x \to f(x,y_0)$ im Punkt \(x_0\) differenzierbar ist, d.h. wenn der Differenzenquotient
\(\lim_{h\to 0}\displaystyle\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\)
existiert. Der Grenzwert heißt partielle Ableitung von f nach x in $(x_0,y_0)$.
Man schreibt meist \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\) oder $f_x(x_0,y_0)$.
Praktisch gesehen tut man bei der Berechnung der partiellen Ableitung nach x so, als ob die andere Variable y ein Parameter ist, der sich nicht ändert, und der wie eine Konstante behandelt wird.
Das bedeutet, dass
\(f(x_0+h,y_0)\approx f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h\)
die partielle Ableitung nach x gibt also näherungsweise an, wie stark sich f ändert, wenn man vom Punkt \((x_0,y_0)\) aus ein kleines Stück h in der x-Richtung geht.