Die algebraische Geometrie befasst sich mit globalen und lokalen Eigenschaften von sogenannten Varietäten, d.h. geometrische Objekte, die sich von endlich viele Polynomialgleichungen im affinen Raum oder im projektiven Raum schneiden lassen. Ähnlich wie in der Topologie und der Differentialgeometrie ist ein lokaler Standpunkt wichtig: Eine Varietät ist ein topologischer Raum, die man mit affinen Karten abdecken kann. Die Karten, aus denen Varietäten zusammengeklebt sind, stammen aus kommutativen Ringen. Algebraische Eigenschaften des Ringes spiegeln sich also in den geometrischen Eigenschaften der Varietät wieder. Das lokale Bild und sein Zusammenhang mit der kommutativen Algebra erlaube, feste Grundlagen für die algebraische Geometrie aufzubauen: Geometrische Begriffe wie die Dimension, glatte versus singuläre Varietäten, die Tangentialgarbe, die Krümmung, was ein endliches Morphismus und was eine Faserung sind, werden mit Hilfe der kommutativen Algebra in der Vorlesung eingeführt und in Beispielen explizit berechnet.
Parallel zu der lokalen Untersuchung werden Varietäten in der Vorlesung auch global studiert. Als Eingangspunkt wird die folgende Frage beantwortet: Wenn eine Kurve als Nullstelle eines einzigen Polynoms im projektiven Raum definiert wird, inwiefern hängt ihre Geometrie (z.B. ihre Topologie, ihre Symmetriegruppe) von dem genauen Polynomen, bzw. nur von seinem Grad ab? Stichwörter sind hier: Kurven, der Satz von Bézout, der Satz von Hurwitz über Automorphismengruppen, Divisoren, rationelle Funktionen, und der Satz von Riemann-Roch. Um Varietäten mit interessanten globalen Eigenschaften bauen zu können, werden auch klassische Konstruktionen der algebraischen Geometrie erläutert: Die Veronese-Einbettung erlaubt uns, den mengentheoretischen Produkt von Varietäten als Varietät zu betrachten; die Grassmann-Mannigfaltigkeiten verallgemeinern den projektiven Raum; die Normalisierung macht sehr singuläre Varietäten nicht so singulär; die Aufblasung von Punkten in der projektiven Ebene produziert verschiedene Flächen, die unerwartete Symmetrien ausstellen und interessante Faserungen haben.
Alle Begriffe der Vorlesung, sowohl global als auch lokal, kommen zusammen im Beweis eines der schönsten Satzes der frühen algebraischen Geometrie: Jede komplexe glatte kubische Fläche enthält genau 27 Geraden.
- Kursleiter/in: Cécile Gachet