(a) Für die Funktion \( f \) mit,
\(f(x, y) = \dfrac{1}{{{@a@}} - ({@b@} \cdot x^2 + {@c@} \cdot y^2)}\)
geben Sie die Bedingung an, unter der ein Paar reeller Zahlen \((x, y)\) im Definitionsbereich \( \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^2 \) liegt. Geben Sie die Bedingung in der Form einer Ungleichung an.
\( f(x, y) = \dfrac{1}{{{@a@}} - ({@b@} \cdot x^2 + {@c@} \cdot y^2)} ;\) [[input:ans1]][[validation:ans1]][[feedback:prt1]]
(b) Für die Funktion \( g \) mit,
\(g(x, y, z) = \sqrt{{@d@} + {@e@} \cdot x - {@f@} \cdot y^2 - {@g@} \cdot z^2}\)
geben Sie die Bedingung an, die die untere Grenze von \( x \) im Definitionsbereich \( \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^3 \) bestimmt, sodass der Ausdruck unter der Wurzel immer nicht-negativ ist.
\( g(x, y, z) = \sqrt{{@d@} + {@e@} \cdot x - {@f@} \cdot y^2 - {@g@} \cdot z^2} ; \)[[input:ans2]][[validation:ans2]][[feedback:prt2]]
(c) Für die Funktion \( h \) mit,
\((x, y) = \ln({@j@} \cdot x - {@h@})\)
geben Sie die Bedingungen an, unter denen \((x, y)\) im Definitionsbereich \( \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^2 \) liegt, unter Berücksichtigung der Bedingungen für den Logarithmus.
\( h(x, y) = \ln({@j@} \cdot x - {@h@}) \cdot y; \) [[input:ans3]][[validation:ans3]][[feedback:prt3]]
Bitte geben Sie Ihre Antworten in der Form von Ungleichungen an. Beachten Sie alle mathematischen Einschränkungen wie die Nichtnegativität unter der Wurzel, den Nenner ungleich Null und die Gültigkeit des Arguments für den Logarithmus. Brüche können in
der Form \( a/b \) angegeben werden. Vermeiden Sie Fließkommazahlen.
Lösung: \( {@a@} > {@b@} \cdot x^2 + {@c@} \cdot y^2 \)
zu (b) Für \( g(x, y, z) \): Die Funktion ist definiert, wenn der Ausdruck unter der Wurzel nicht-negativ ist. Die Bedingung für den Definitionsbereich ist, dass \( {@d@} \) plus \( {@e@} \) mal \( x \) größer oder gleich \( {@f@} \) mal \( y^2 \) plus \( {@g@} \) mal \( z^2 \) sein muss. Dies bedeutet, dass für gegebene Werte von \( y \) und \( z \), \( x \) groß genug sein muss, um die Nichtnegativität des Ausdrucks zu gewährleisten.
Lösung: \( {@d@} + {@e@} \cdot x \geq {@f@} \cdot y^2 + {@g@} \cdot z^2 \)
zu (c) Für \( h(x, y) \): Die Funktion hat eine Bedingungen für den Definitionsbereich. Es muss gelten, dass das Argument des Logarithmus, \( {@j@} \cdot x - {@h@} \),
größer als Null ist, was eine untere Grenze für \( x \) schafft.
Lösung: \( x > \frac{{@h@}}{{@j@}} \)
(a) Für die Funktion \( f \) mit,
\(f(x, y, z) = \ln\left(\frac{{@m@} + {@n@} \cdot x^2}{{@o@} \cdot y^2 + {@p@} \cdot \sqrt{z}} - 1\right)\)
geben Sie die Bedingung an, die den Definitionsbereich \( \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^3 \) bestimmt, sodass der Ausdruck im Logarithmus immer größer als 0 ist
\( f(x, y, z) = \ln\left(\frac{{@m@} + {@n@} \cdot x^2}{{@o@} \cdot y^2 + {@p@} \cdot \sqrt{z}} - 1\right); \) [[input:ans1]][[validation:ans1]][[feedback:prt1]]
(b) Für die Funktion \( g \) mit,
\(g(x, y) = \frac{1}{|{@q@} \cdot x^3 - {@r@} \cdot y^2| + {@s@}}\)
bestimmen Sie die Bedingung, unter der ein Paar reeller Zahlen \((x, y)\) im Definitionsbereich \( \mathbb{D} \subset \mathbb{R}^2 \) liegt. Berücksichtigen Sie dabei die Eigenschaften der absoluten Wertfunktion und den Nenner der Funktion, um zu gewährleisten, dass der Ausdruck immer positiv und nicht gleich null ist.
\( g(x, y) = \frac{1}{|{@q@} \cdot x^3 - {@r@} \cdot y^2| + {@s@}} ; \) [[input:ans2]][[validation:ans2]] [[feedback:prt2]]
Bitte geben Sie Ihre Antworten in der Form von Ungleichungen an.
]]>zu (b) Für die Funktion \( g(x, y) \): Diese Funktion ist definiert, wenn der Nenner immer positiv und nicht gleich null ist. Da der Ausdruck \( |{@q@} \cdot x^3 - {@r@} \cdot y^2| \) immer nicht-negativ ist (aufgrund der Eigenschaften des absoluten Wertes) und \( {@s@} \) positiv ist, ist die Bedingung für den Definitionsbereich immer erfüllt. Die Ungleichung \( |{@q@} \cdot x^3 - {@r@} \cdot y^2| + {@s@} > 0 \) ist immer wahr, da \( {@s@} > 0 \) und der absolute Wert nicht negativ sein kann.
Lösung: \( |{@q@} \cdot x^3 - {@r@} \cdot y^2| + {@s@} > 0 \)