$course$/top/Lineare Algebra $course$/top/Lineare Algebra/Lagebeziehungen $course$/top/Lineare Algebra/Lagebeziehungen/Punkte und Polygone Lagebeziehung von Punkten und Polygonen (1) (Parallelogramme) Sei $p\in \mathbb{R}^3$ ein Punkt mit Ortsvektor $\vec{p}$ und sei $E$ eine Ebene in $\mathbb{R}^3$, die durch die Abbildung

$\displaystyle h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle (s_1,s_2) \mapsto \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$

parametrisiert wird. Die Menge

$\displaystyle P = \{ h(s_1,s_2) \mid 0 \leq s_1 \leq 1,\; 0 \leq s_2 \leq 1\}$

definiert ein Parallelogramm in $E$. Im Folgenden seien

$\displaystyle\vec{p} = {@pVec@}$, $\displaystyle\vec{q} = {@qVec@}$, $\displaystyle\vec{w}_1 = {@w1Vec@}$, $\displaystyle\vec{w}_2 = {@w2Vec@}$ .

(a) Bestimmen Sie reelle Zahlen $s_1, \, s_2 \in \mathbb{R}$ mit $p = h(s_1,s_2)$ und geben Sie $s_1$ und $s_2$ in (i) exakt an. Entscheiden Sie mithilfe von $s_1$ und $s_2$, ob der Punkt $p$ Element von $P$ ist. Vervollständigen Sie dazu den Lückentext in (ii).

(i) Es ist $s_1 = \, $[[input:ans2]] und es ist $s_2 = \, $[[input:ans3]] .

[[validation:ans2]][[validation:ans3]]

[[feedback:prt2]]

(ii) Der Punkt $p$ ist [[input:ans1]] Element von $P$.

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

(b) Geben Sie den Ortsvektor $\vec{r}$ eines Punktes $r \in E$ an, der {@ TextMod1@} Element von $P$ ist.

Es ist $\vec{r} = \, $[[input:ans4]] .

[[validation:ans4]]

[[feedback:prt3]]

]]> zu (a)(i) Die Bedingung

$\displaystyle \vec{p} = h(s_1,s_2) = \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$

ist ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem, das sich eindeutig lösen lässt zu $s_1 = {@ TAnsA11@}$ und $s_2 = {@ TAnsA12@}$.

zu (a)(ii) Es ist

$\displaystyle {@ListComp5[1][1][1][3]@}$, $\displaystyle {@ListComp5[1][1][1][4]@}$.

Folglich ist $p$ {@ListComp5[1][2]@} Element von $P$.

zu (b) Für $t_1 = {@ListComp5[2][1][1][1]@}$ und $t_2 = {@ListComp5[2][1][1][2]@}$ gilt

$\displaystyle {@ListComp5[2][1][1][3]@}$, $\displaystyle {@ListComp5[2][1][1][4]@}$.

Der Punkt $r$ mit dem Ortsvektor

$\displaystyle \vec{r} = h(t_1,t_2) = \vec{q} + t_1 \, \vec{w}_1 + t_2 \, \vec{w}_2$

ist folglich {@ListComp5[2][2]@} Element von $P$. Dabei ist

$\displaystyle \vec{r} = {@rVec@}$.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 nach einer Idee von Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger an der Ruhr-Universität Bochum. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Um eine Kopie der Lizenz zu erhalten, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. SPDX-License-Identifier: CC-BY-SA-4.0 */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* Notation */ texput(IneqTrue1,"0 \\leq s_1 \\leq 1"); texput(IneqFalse1,"s_1 \\leq 0"); texput(IneqTrue2,"0 \\leq s_2 \\leq 1"); texput(IneqFalse2,"s_2 \\leq 0"); /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* --- */ ListComp1 : random_permutation([-1,0,1,2,3]); ListComp2 : random_permutation([-1,1,2]); ListComp3 : random_permutation([-1,1]); /* Definition des Ortsvektors qVec und der linear unabhängigen Stützvektoren w1Vec, w2Ve */ qVec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); u1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); u2Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]); u3Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]); u4Vec : ListComp3[1]*matrix([0],[ListComp2[3]],[ListComp2[2]]); List1Vec : random_permutation([u2Vec,u3Vec,u4Vec]); List2Vec : random_permutation([u1Vec,List1Vec[1]]); Coeff1 : rand([2,3,5]); w1Vec : Coeff1*List2Vec[1]; w2Vec : Coeff1*List2Vec[2]; w3Vec : List1Vec[2]; /* w3Vec ergänzt w1Vec und w2Vec zu einer Basis */ /* Definition des Ortsvektors pVec und rVec*/ CoeffDiv(x) := x/Coeff1; CoeffList : makelist(i,i,1,Coeff1-1); Coeff2 : rand(map(CoeffDiv, CoeffList)); ListComp5 : random_permutation([ [[[Coeff2, Coeff2, IneqTrue1, IneqTrue2]],"ein",true], [random_permutation([[-Coeff2, Coeff2, IneqFalse1, IneqTrue2],[Coeff2,-Coeff2, IneqTrue1, IneqFalse2],[-Coeff2,-Coeff2, IneqFalse1, IneqFalse2]]),"kein",false] ]) pVec : qVec + ListComp5[1][1][1][1]*w1Vec + ListComp5[1][1][1][2]*w2Vec; rVec : qVec + ListComp5[2][1][1][1]*w1Vec + ListComp5[2][1][1][2]*w2Vec; /* Objekte zur Überprüfung der Antwort der Studierenden */ MakeIntoLine(M) := [M[1][1],M[2][1],M[3][1]]; MatrixA : transpose(matrix(MakeIntoLine(w1Vec), MakeIntoLine(w2Vec), MakeIntoLine(w3Vec))); InverseA : invert(MatrixA); /* Antworten */ TAnsA11 : ListComp5[1][1][1][1]; TAnsA12 : ListComp5[1][1][1][2]; TAnsA2 : [[1,true,ListComp5[1][2]],[2,false,ListComp5[2][2]]]; TAnsB : rVec; /* Falsche Antwort */ TAnsA11W1 : ListComp5[2][1][1][1]; TAnsA12W1 : ListComp5[2][1][1][2]; TAnsBW1 : pVec + w3Vec; TAnsBW2 : pVec; /* Text */ TextMod1 : ListComp5[2][2];]]> Hinweis 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 dropdown TAnsA2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans2 algebraic TAnsA11 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans3 algebraic TAnsA12 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans4 matrix TAnsB 5 1 0 0 0 0 1 0 0 prt1 1.0000000 1 1 = 0) and is(ans3 >= 0) and is(ans2 <= 1) and is(ans3 <= 1); TextMod2 : "" if AnswerCheck then ( TextMod2 : "ein" ) else ( TextMod2 : "kein" )]]> 1 AlgEquiv [ans2,ans3] [TAnsA11,TAnsA12] 1 + 0 3 prt1-2-T + 0 2 prt1-2-F 2 AlgEquiv AnswerCheck ListComp5[ans1][3] 1 + 0.5 -1 prt1-3-T zu (a)(ii) Für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen ist $h(s_1,s_2)$ {@TextMod2@} Element von $P$. Da für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen $h(s_1,s_2)$ und $p$ nicht übereinstimmen, erlaubt dies allerdings keine Aussage darüber, ob $p$ ein Element von $P$ ist.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist teilweise richtig.

]]> + 0 -1 prt1-3-F zu (a)(ii) Für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen ist $h(s_1,s_2)$ {@TextMod2@} Element von $P$. Da für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen $h(s_1,s_2)$ und $p$ nicht übereinstimmen, erlaubt dies allerdings keine Aussage darüber, ob $p$ ein Element von $P$ ist.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist falsch.

]]> 3 AlgEquiv ans1 1 1 + 1 -1 prt1-4-T zu (a)(ii) Es ist $p$ {@ListComp5[1][2]@} Element von $P$.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt1-4-F zu (a)(ii) Es ist $p$ {@ListComp5[1][2]@} Element von $P$.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist falsch.

]]> prt2 1.0000000 1 1 0 AlgEquiv [ans2,ans3] [TAnsA11,TAnsA12] 1 + 1 -1 prt4-1-T zu (a)(i) Für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen stimmen $h(s_1,s_2)$ und $p$ überein.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt4-1-F zu (a)(i) Für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen stimmen $h(s_1,s_2)$ und $p$ nicht überein.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist falsch.

]]> prt3 1.0000000 1 1 = 0) and is(SAns[2][1] >= 0) and is(SAns[1][1] <= 1) and is(SAns[2][1] <= 1); TextMod3 : "" if AnswerCheck then ( TextMod3 : "ein" ) else ( TextMod3 : "kein" )]]> 0 AlgEquiv SAns[3][1] 0 1 + 0 1 prt3-1-T + 0 -1 prt3-1-F zu (b) Der von Ihnen für $\vec{r}$ eingegebene Vektor ist nicht der Ortsvektor eines Punktes in $E$.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> 1 AlgEquiv AnswerCheck ListComp5[2][3] 1 + 1 -1 prt3-2-T zu (b) Der von Ihnen für $\vec{r}$ eingegebene Vektor ist der Ortsvektor eines Punktes, der {@TextMod3@} Element von $P$ ist.

Ihre Antwort zu (b) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt3-2-F zu (b) Der von Ihnen für $\vec{r}$ eingegebene Vektor ist der Ortsvektor eines Punktes, der {@TextMod3@} Element von $P$ ist.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> 1 ans1 first(mcq_correct(TAnsA2)) ans2 TAnsA11 ans3 TAnsA12 ans4 TAnsB prt1 1.0000000 prt1-4-T prt2 1.0000000 prt4-1-T prt3 1.0000000 prt3-2-T 2 ans1 first(mcq_correct(TAnsA2)) ans2 TAnsA11W1 ans3 TAnsA12W1 ans4 TAnsBW1 prt1 0.0000000 prt1-3-F prt2 0.0000000 prt4-1-F prt3 0.0000000 prt3-1-F 3 ans1 first(mcq_incorrect(TAnsA2)) ans2 TAnsA11W1 ans3 TAnsA12W1 ans4 TAnsBW2 prt1 0.5000000 prt1-3-T prt2 0.0000000 prt4-1-F prt3 0.0000000 prt3-2-F 4 ans1 first(mcq_incorrect(TAnsA2)) ans2 TAnsA11 ans3 TAnsA12 ans4 prt1 0.0000000 prt1-4-F prt2 1.0000000 prt4-1-T prt3 NULL Polygon Parallelogramm Lagebeziehung Punkt Ebene Lagebeziehung von Punkten und Polygonen (2) (Dreiecke) Sei $p\in \mathbb{R}^3$ ein Punkt mit Ortsvektor $\vec{p}$ und sei $E$ eine Ebene in $\mathbb{R}^3$, die durch die Abbildung

$\displaystyle h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle (s_1,s_2) \mapsto \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$

parametrisiert wird. Die Menge

$\displaystyle D = \{ h(s_1,s_2) \mid 0 \leq s_1,\; 0 \leq s_2,\; s_1+s_2 \leq 1\}$

definiert ein Dreieck in $E$. Im Folgenden seien

$\displaystyle\vec{p} = {@pVec@}$, $\displaystyle\vec{q} = {@qVec@}$, $\displaystyle\vec{w}_1 = {@w1Vec@}$, $\displaystyle\vec{w}_2 = {@w2Vec@}$ .

(a) Bestimmen Sie reelle Zahlen $s_1, \, s_2 \in \mathbb{R}$ mit $p = h(s_1,s_2)$ und geben Sie $s_1$ und $s_2$ in (i) exakt an. Entscheiden Sie mithilfe von $s_1$ und $s_2$, ob der Punkt $p$ Element von $D$ ist. Vervollständigen Sie dazu den Lückentext in (ii).

(i) Es ist $s_1 = \, $[[input:ans2]] und es ist $s_2 = \, $[[input:ans3]] .

[[validation:ans2]][[validation:ans3]]

[[feedback:prt2]]

(ii) Der Punkt $p$ ist [[input:ans1]] Element von $D$.

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

(b) Geben Sie den Ortsvektor $\vec{r}$ eines Punktes $r \in E$ an, der {@ TextMod1@} Element von $D$ ist.

Es ist $\vec{r} = \, $[[input:ans4]] .

[[validation:ans4]]

[[feedback:prt3]]

]]> zu (a)(i) Die Bedingung

$\displaystyle \vec{p} = h(s_1,s_2) = \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$

ist ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem, das sich eindeutig lösen lässt zu $s_1 = {@ TAnsA11@}$ und $s_2 = {@ TAnsA12@}$.

zu (a)(ii) Es ist

$\displaystyle s_1 \; {@ListComp5[1][1][1][3]@} \; 0 $, $\displaystyle s_2 \; {@ListComp5[1][1][1][4]@} \; 0 $, $\displaystyle s_1 + s_2 \leq 1 $.

Folglich ist $p$ {@ListComp5[1][2]@} Element von $D$.

zu (b) Für $t_1 = {@ListComp5[2][1][1][1]@}$ und $t_2 = {@ListComp5[2][1][1][2]@}$ gilt

$\displaystyle t_1 \; {@ListComp5[2][1][1][3]@} \; 0 $, $\displaystyle t_2 \; {@ListComp5[2][1][1][4]@} \; 0 $, $\displaystyle t_1 + t_2 \leq 1 $.

Der Punkt $r$ mit dem Ortsvektor

$\displaystyle \vec{r} = h(t_1,t_2) = \vec{q} + t_1 \, \vec{w}_1 + t_2 \, \vec{w}_2$

ist folglich {@ListComp5[2][2]@} Element von $D$. Dabei ist

$\displaystyle \vec{r} = {@rVec@}$.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 nach einer Idee von Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger an der Ruhr-Universität Bochum. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Um eine Kopie der Lizenz zu erhalten, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. SPDX-License-Identifier: CC-BY-SA-4.0 */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* Notation */ texput(leq,"\\leq"); texput(geq,"\\geq"); /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* --- */ ListComp1 : random_permutation([-1,0,1,2,3]); ListComp2 : random_permutation([-1,1,2]); ListComp3 : random_permutation([-1,1]); ListComp4 : random_permutation([2,3]); /* Definition des Ortsvektors qVec und der linear unabhängigen Stützvektoren w1Vec, w2Ve */ qVec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); u1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); u2Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]); u3Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]); u4Vec : ListComp3[1]*matrix([0],[ListComp2[3]],[ListComp2[2]]); List1Vec : random_permutation([u2Vec,u3Vec,u4Vec]); List2Vec : random_permutation([u1Vec,List1Vec[1]]); Coeff1 : ListComp4[1]; w1Vec : Coeff1*List2Vec[1]; w2Vec : Coeff1*List2Vec[2]; w3Vec : List1Vec[2]; /* w3Vec ergänzt w1Vec und w2Vec zu einer Basis */ /* Definition des Ortsvektors pVec und rVec*/ Coeff2 : 1/Coeff1; ListComp5 : random_permutation([ [[[Coeff2, Coeff2, geq, geq]],"ein",true], [random_permutation([[-Coeff2, Coeff2, leq, geq],[Coeff2,-Coeff2, geq, leq],[-Coeff2,-Coeff2, leq, leq]]),"kein",false] ]) pVec : qVec + ListComp5[1][1][1][1]*w1Vec + ListComp5[1][1][1][2]*w2Vec; rVec : qVec + ListComp5[2][1][1][1]*w1Vec + ListComp5[2][1][1][2]*w2Vec; /* Objekte zur Überprüfung der Antwort der Studierenden */ MakeIntoLine(M) := [M[1][1],M[2][1],M[3][1]]; MatrixA : transpose(matrix(MakeIntoLine(w1Vec), MakeIntoLine(w2Vec), MakeIntoLine(w3Vec))); InverseA : invert(MatrixA); /* Antworten */ TAnsA11 : ListComp5[1][1][1][1]; TAnsA12 : ListComp5[1][1][1][2]; TAnsA2 : [[1,true,ListComp5[1][2]],[2,false,ListComp5[2][2]]]; TAnsB : rVec; /* Falsche Antwort */ TAnsA11W1 : ListComp5[2][1][1][1]; TAnsA12W1 : ListComp5[2][1][1][2]; TAnsBW1 : pVec + w3Vec; TAnsBW2 : pVec; /* Text */ TextMod1 : ListComp5[2][2];]]> Hinweis 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 dropdown TAnsA2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans2 algebraic TAnsA11 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans3 algebraic TAnsA12 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans4 matrix TAnsB 5 1 0 0 0 0 1 0 0 prt1 1.0000000 1 1 = 0) and is(ans3 >= 0) and is(ans2 + ans3 <= 1); TextMod2 : "" if TriangleCheck then ( TextMod2 : "ein" ) else ( TextMod2 : "kein" )]]> 1 AlgEquiv [ans2,ans3] [TAnsA11,TAnsA12] 1 + 0 3 prt1-2-T + 0 2 prt1-2-F 2 AlgEquiv TriangleCheck ListComp5[ans1][3] 1 + 0.5 -1 prt1-3-T zu (a)(ii) Für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen ist $h(s_1,s_2)$ {@TextMod2@} Element von $D$. Da für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen $h(s_1,s_2)$ und $p$ nicht übereinstimmen, erlaubt dies allerdings keine Aussage darüber, ob $p$ ein Element von $D$ ist.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist teilweise richtig.

]]> + 0 -1 prt1-3-F zu (a)(ii) Für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen ist $h(s_1,s_2)$ {@TextMod2@} Element von $D$. Da für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen $h(s_1,s_2)$ und $p$ nicht übereinstimmen, erlaubt dies allerdings keine Aussage darüber, ob $p$ ein Element von $D$ ist.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist falsch.

]]> 3 AlgEquiv ans1 1 1 + 1 -1 prt1-4-T zu (a)(ii) Es ist $p$ {@ListComp5[1][2]@} Element von $D$.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt1-4-F zu (a)(ii) Es ist $p$ {@ListComp5[1][2]@} Element von $D$.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist falsch.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt4-1-F zu (a)(i) Für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen stimmen $h(s_1,s_2)$ und $p$ nicht überein.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist falsch.

]]> prt3 1.0000000 1 1 = 0) and is(SAns[2][1] >= 0) and is(SAns[1][1] + SAns[2][1] <= 1); TextMod3 : "" if TriangleCheck then ( TextMod3 : "ein" ) else ( TextMod3 : "kein" )]]> 0 AlgEquiv SAns[3][1] 0 1 + 0 1 prt3-1-T + 0 -1 prt3-1-F zu (b) Der von Ihnen für $\vec{r}$ eingegebene Vektor ist nicht der Ortsvektor eines Punktes in $E$.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> 1 AlgEquiv TriangleCheck ListComp5[2][3] 1 + 1 -1 prt3-2-T zu (b) Der von Ihnen für $\vec{r}$ eingegebene Vektor ist der Ortsvektor eines Punktes, der {@ TextMod3@} Element von $D$ ist.

Ihre Antwort zu (b) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt3-2-F zu (b) Der von Ihnen für $\vec{r}$ eingegebene Vektor ist der Ortsvektor eines Punktes, der {@ TextMod3@} Element von $D$ ist.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.