$course$/top/Lineare Algebra $course$/top/Lineare Algebra/Lagebeziehungen $course$/top/Lineare Algebra/Lagebeziehungen/Geraden und Ebenen Lagebeziehung von Geraden und Ebenen (1) Seien $G$ eine Gerade und $E$ eine Ebene in $\mathbb{R}^3$. Die Gerade $G$ werde parametrisiert durch

$\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle t \mapsto \vec{p} + t \, \vec{v}$

mit $v \in \mathbb{R}^3 \setminus\{0\}$ und die Ebene $E$ werde parametrisiert durch

$\displaystyle h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle (s_1,s_2) \mapsto \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$

mit linear unabhängigen Vektoren $\vec{w_1}$, $\vec{w_2} \in \mathbb{R}^3$. Im Folgenden bezeichne $\vec{n}$ das Vektorprodukt $\vec{n} = \vec{w}_1 \times \vec{w}_2$.

(a) Vervollständigen Sie die folgende Aussage zu einer im Allgemeinen wahren Aussage über die Lagebeziehung von $G$ und $E$.

Wenn [[input:ans2]] sind, dann schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ [[input:ans1]].

[[validation:ans1]][[validation:ans2]]

[[feedback:prt1]]

(b) Vervollständigen Sie jede der drei folgenden Aussagen zu einer im Allgemeinen wahren Aussage über die Lagebeziehung von $G$ und $E$.

(i) Wenn die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt schneidet, dann sind [[input:ans3]].

[[validation:ans3]]

[[feedback:prt2]]

(ii) Wenn die Gerade $G$ die Ebene $E$ in unendlich vielen Punkten schneidet, dann sind [[input:ans4]].

[[validation:ans4]]

[[feedback:prt3]]

(iii) Wenn die Gerade $G$ die Ebene $E$ gar nicht schneidet, dann sind [[input:ans5]].

[[validation:ans5]]

[[feedback:prt4]]

]]> Zunächst betrachten wir zwei Charakterisierung (1) und (2) eines Schnittpunktes der Geraden $G$ und der Ebene $E$.

(1) Die Gerade $G$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $g(t)$ genau dann, wenn

$\displaystyle (g(t)-\vec{q})\cdot\vec{n} = 0$

ist. Da das Standardskalarprodukt bilinear ist, ist diese Gleichung äquivalent zu

$\displaystyle t \, \vec{v} \cdot\vec{n} = (\vec{q} - \vec{p}) \cdot\vec{n}\quad(*)$.

(2) Die Gerade $G$ schneidet die Ebene $E$ im Punkt $g(t) = h(s_1,s_2)$ genau dann, wenn

$\displaystyle t \, \vec{v} - s_1 \, \vec{w}_1 - s_2\, \vec{w}_2 = \vec{q} - \vec{p} \quad(**)$

ist.

zu (a)(1.1) Falls $\vec{v}$, $\vec{n}$ linear abhängig sind, so existiert eine genau eine reelle Zahl $\lambda \in \mathbb{R}$ mit $\lambda \, \vec{v} = \vec{n}$. Da $\vec{v}$ und $\vec{n}$ insbesondere ungleich dem Nullvektor sind und damit auch $\lambda$ und $\vec{n} \cdot \vec{n}$ ungleich null sind, existiert genau eine reelle Zahl

$\displaystyle t = \frac{(\vec{q} - \vec{p}) \cdot\vec{n}}{\lambda \, \vec{n}\cdot\vec{n}}$,

für die die Gleichung $(*)$ erfüllt ist.

zu (a)(1.2) Falls $\vec{v}$, $\vec{n}$ linear unabhängig sind, unterscheiden wir die Fälle $\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0$ und $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$. Für den Fall, dass $\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0$ ist, folgt wie im Fall der linearen Unabhängigkeit von $\vec{v}$, $\vec{n}$, dass genau eine reelle Zahl

$\displaystyle t = \frac{(\vec{q} - \vec{p}) \cdot\vec{n}}{\vec{v}\cdot\vec{n}}$

existiert, für die die Gleichung $(*)$ erfüllt ist. Ist andererseits $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$, so ist die Gleichung $(*)$ genau dann erfüllt, falls $\vec{q} - \vec{p} = 0$ ist. Wir unterscheiden die Fälle $\vec{q} - \vec{p} = 0$ und $\vec{q} - \vec{p} \neq 0$. Falls $\vec{q} - \vec{p} = 0$, so ist die Gleichung $(*)$ für alle reellen Zahlen $t$ erfüllt. Falls andererseits $\vec{q} - \vec{p} \neq 0$, so ist die Gleichung $(*)$ für keine reelle Zahl $t$ erfüllt.

zu (a)(1.3) Falls $\vec{v}$, $\vec{n}$ senkrecht sind und damit $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ ist, existiert keine reelle Zahl $t$ oder es existieren unendlich viele reelle Zahlen, für die die Gleichung $(*)$ erfüllt ist (vergleiche (a)(1.2)).

zu (a)(2.1) Falls $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear unabhängig sind, lässt sich jeder Vektor in $\mathbb{R}^3$ als eindeutige Linearkombination von $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ darstellen. Insbesondere existiert auch für $\vec{q}-\vec{p}$ eine eindeutige Linearkombination

$\displaystyle \vec{q}-\vec{p} = \lambda_0 \, \vec{v} + \lambda_1 \, \vec{w}_1 + \lambda_2 \vec{w}_2$.

Mit $t = \lambda_0$, $s_1 = -\lambda_1$ und $s_2 = -\lambda_1$ ist diese Gleichung äquivalent zu der Gleichung $(**)$.

zu (a)(2.2) Falls $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear abhängig sind, existieren eindeutige reelle Zahlen $\lambda_1$ und $\lambda_2$, sodass

$\vec{v} = \lambda_1 \, \vec{w}_1 + \lambda_2 \vec{w}_2$.

ist. Unterscheide die Fälle, dass $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$, $\vec{q}-\vec{p}$ linear abhängig oder linear unabhängig sind: Falls $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$, $\vec{q}-\vec{p}$ linear abhängig sind, so existieren eindeutige reelle Zahlen $\mu_1$, $\mu_2$ mit

$\displaystyle \vec{q} - \vec{p} = \mu_1 \, \vec{w}_1 + \mu_2 \vec{w}_2 $.

Für jede beliebige reelle Zahl $\mu_0$ lässt sich die rechte Seite der Gleichung um $\mu_0 \, \vec{v}$ ergänzen zu

$\displaystyle \vec{q} - \vec{p} = \mu_0 \, \vec{v} + (\mu_1-\mu_0\,\lambda_1) \, \vec{w}_1 + (\mu_2-\mu_0\,\lambda) \vec{w}_2 $.

Dies ist äquivalent zu der Gleichung $(**)$ für $t = \mu_0$, $s_1 = -\mu_1+\mu_0$ und $s_2 = -\mu_2+\mu_0$. Falls andererseits $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$, $\vec{q}-\vec{p}$ linear unabhängig sind, so folgt für jede Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$\displaystyle 0 = \mu_1 \, \vec{w}_1 + \mu_2 \vec{w}_2 + \mu_3 \, (\vec{q} - \vec{p}) $.

der Vektoren $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$, $\vec{q}-\vec{p}$, dass $\mu_1$, $\mu_2$, $\mu_3$ jeweils gleich null sind. Für jede beliebige Zahl $\mu_0$ lässt sich diese Linearkombination des Nullvektors um $\mu_0 \, v_0$ ergänzen zu

$\displaystyle 0 = \mu_0 \, \vec{v} + (\mu_1-\mu_0\,\lambda_1) \, \vec{w}_1 + (\mu_2-\mu_0\,\lambda) \vec{w}_2 + \mu_3 \, (\vec{q} - \vec{p}) $.

Insbesondere ist die Gleichung für $\mu_3 \neq 0$ falsch. Dies zeigt, dass die Gleichung $(**)$ für keine rellen Zahlen $t$, $s_1$, $s_2$ erfüllt ist.

zu (b)(i) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt schneidet, existieren eindeutige reelle Zahlen $t$, $s_1$, $s_2$, sodass die Gleichung $(**)$ erfüllt ist. Seien $\lambda_0$, $\lambda_1$, $\lambda_2$ reelle Zahlen mit

$\displaystyle 0 = \lambda_0 \,\vec{v} + \lambda_1\,\vec{w}_1 + \lambda_2\, \vec{w}_2 $

und somit

$\displaystyle \vec{q}-\vec{p} = (\lambda_0+t)\, \vec{v} + (\lambda_1+s_1)\, \vec{w}_1 + (\lambda_1+s_2)\, \vec{w}_3 $.

Aus der Eindeutigkeit des Schnittpunktes der Geraden $G$ und der Ebene $E$, folgt dann, dass $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$ jeweils gleich null sind.

zu (b)(ii)(1) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ in unendlich vielen Punkten schneidet, existieren unendlich viele reelle Zahlen $t$, sodass die Gleichung $(*)$ erfüllt ist. Seien $t$ und $\tilde{t}$ zwei voneinander verschiedene Parameter, sodass Gleichung $(*)$ erfüllt ist. Dann ist

$\displaystyle(t - \tilde{t}) \, \vec{v} \cdot \vec{n} = 0$.

und damit $ \vec{v} \cdot \vec{n} = 0$.

zu (b)(ii)(2) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ in unendlich vielen Punkten schneidet, existieren unendlich viele reelle Zahlen $t$, $s_1$, $s_2$, sodass die Gleichung $(**)$ erfüllt ist. Seien $t$, $s_1$, $s_2$ und $\tilde{t}$, $\tilde{s}_1$, $\tilde{s}_2$ zwei voneinander verschiedene Tripel von Parametern, sodass Gleichung $(**)$ erfüllt ist. Dann ist

$\displaystyle (t - \tilde{t}) \, \vec{v} + (\tilde{s}_1 - s_1)\, \vec{w}_1 + (\tilde{s}_2 - s_2)\, \vec{w}_2 = 0 $

eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors. Folglich sind $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear abhängig.

zu (b)(iii)(1) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ gar nicht schneidet, so ist gemäß der Gleichung $(*)$

$\displaystyle t \, \vec{v} \cdot \vec{n} + (\vec{p} - \vec{q}) \cdot \vec{n}$

entweder strikt größer oder strikt kleiner null für alle $t \in \mathbb{R}$. Fasst man diesen Ausdruck als (affin) lineare Funktion in $t$ auf, so wird deutlich, dass die gegebene Bedingung nur dann erfüllt ist, falls die Steigung $ \vec{v} \cdot \vec{n} $ gleich null ist. Damit sind $ \vec{v}$ und $ \vec{n}$ senkrecht und insbesondere linear unabhängig.

zu (b)(iii)(2) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ gar nicht schneidet, so sind $vec{v}$, $\vec{w}_1$ und $\vec{w}_2$ linear abhängig. Denn andernfalls existiert gemäß (a)(2.1) ein eindeutiger Schnittpunkt.

zu (b) Alle weiteren Antwortmöglichkeiten in (b)(i), (b)(ii) und (b)(iii) lassen sich entweder nicht eindeutig aus der jeweiligen Lagebeziehung von $G$ und $E$ folgern oder widersprechen dieser (siehe Aufgabenteil (a)).

]]> + 0 2 prt1-2-F 2 AlgEquiv ans2 2 1 + 0 -1 prt1-3-T zu (a) Falls $\vec{v}$, $\vec{n}$ linear unabhängig sind, können drei verschiedene Fälle auftreten: Entweder sind $\vec{v}$, $\vec{n}$ senkrecht, sodass die Gerade $G$ die Ebene $E$ in unendlich vielen Punkten oder gar nicht schneidet, oder $\vec{v}$, $\vec{n}$ sind nicht senkrecht, sodass die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt schneidet. Nur aus der Annahme, dass $\vec{v}$, $\vec{n}$ linear unabhängig sind, lässt sich die Lagebeziehung von $G$ und $E$ nicht eindeutig folgern.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> + 0 3 prt1-3-F 3 AlgEquiv ans2 3 1 + 0 -1 prt1-4-T zu (a) Falls $\vec{v}$, $\vec{n}$ senkrecht sind, können zwei verschiedene Fälle auftreten: Entweder schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ in unendlich vielen Punkten oder gar nicht. Nur aus der Annahme, dass $\vec{v}$, $\vec{n}$ senkrecht sind, lässt sich die Lagebeziehung von $G$ und $E$ nicht eindeutig folgern.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> + 0 4 prt1-4-F 4 AlgEquiv ans2 5 1 + 0 -1 prt1-5-T zu (a) Falls $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear abhängig sind, können zwei verschiedene Fälle auftreten: Entweder schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ in unendlich vielen Punkten oder gar nicht. Nur aus der Annahme, dass $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear abhängig sind, lässt sich die Lagebeziehung von $G$ und $E$ nicht eindeutig folgern.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> + 0 -1 prt1-5-F Falls $\vec{v}$, $\vec{n}$ linear abhängig sind oder falls $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear unabhängig sind, schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> prt2 1.0000000 1 1 0 AlgEquiv ans3 4 1 + 1 -1 prt4-1-T zu (b)(i) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt schneidet, dann sind $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear unabhängig.

Ihre Antwort zu (b)(i) ist richtig.

]]> + 0 1 prt4-1-F 1 AlgEquiv ans3 1 1 + 0 -1 prt2-2-T zu (b)(i) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt schneidet, dann sind $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear unabhängig. Nur aus der Annahme, dass die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt schneidet, lässt sich jedoch nicht eindeutig folgern, dass $\vec{v}$, $\vec{n}$ linear abhängig sind.

Ihre Antwort zu (b)(i) ist falsch.

]]> + 0 -1 prt2-2-F zu (b)(i) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt schneidet, dann sind $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear unabhängig.

Ihre Antwort zu (b)(i) ist falsch.

]]> prt3 1.0000000 1 1 SAnsValue1 : member(ans4,[3,5]); 0 AlgEquiv SAnsValue1 true 1 + 1 -1 prt3-1-T zu (b)(ii) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ in unendlich vielen Punkten schneidet, dann sind $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear abhängig oder es sind äquivalent $\vec{v}$, $\vec{n}$ senkrecht.

Ihre Antwort zu (b)(ii) ist richtig.

]]> = 0 -1 prt3-1-F zu (b)(ii) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ in unendlich vielen Punkten schneidet, dann sind $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear abhängig oder es sind äquivalent $\vec{v}$, $\vec{n}$ senkrecht.

Ihre Antwort zu (b)(ii) ist falsch.

]]> prt4 1.0000000 1 1 SAnsValue1 : member(ans5,[2,4]); 0 AlgEquiv SAnsValue1 true 1 + 1 -1 prt4-1-T zu (b)(iii) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ gar nicht schneidet, dann sind $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear abhängig oder es sind äquivalent $\vec{v}$, $\vec{n}$ senkrecht.

Ihre Antwort zu (b)(iii) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt4-1-F zu (b)(iii) Falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ gar nicht schneidet, dann sind $\vec{v}$, $\vec{w}_1$, $\vec{w}_2$ linear abhängig oder es sind äquivalent $\vec{v}$, $\vec{n}$ senkrecht.

Ihre Antwort zu (b)(iii) ist falsch.

]]> 1 ans1 first(mcq_correct(TeacherAnswerA2)) ans2 first(mcq_correct(TeacherAnswerA1)) ans3 first(mcq_correct(TeacherAnswerB1)) ans4 first(mcq_correct(TeacherAnswerB2)) ans5 first(mcq_correct(TeacherAnswerB3)) prt1 1.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 prt4-1-T prt3 1.0000000 prt3-1-T prt4 1.0000000 prt4-1-T 2 ans1 1 ans2 2 ans3 1 ans4 1 ans5 1 prt1 0.0000000 prt1-3-T prt2 0.0000000 prt2-2-T prt3 0.0000000 prt3-1-F prt4 0.0000000 prt4-1-F 3 ans1 1 ans2 3 ans3 ans4 ans5 prt1 0.0000000 prt1-4-T prt2 NULL prt3 NULL prt4 NULL 4 ans1 1 ans2 5 ans3 ans4 ans5 prt1 0.0000000 prt1-5-T prt2 NULL prt3 NULL prt4 NULL Gerade Ebene Lagebeziehung Lagebeziehung von Geraden und Ebenen (2) Seien $G$ eine Gerade und $E$ eine Ebene in $\mathbb{R}^3$, die sich in genau einem Punkt schneiden. Die Gerade $G$ werde parametrisiert durch

$\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle t \mapsto \vec{p} + t \, \vec{v}$

und die Ebene $E$ werde parametrisiert durch

$\displaystyle h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle (s_1,s_2) \mapsto \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$

mit

$\displaystyle\vec{p} = {@pVec@}$, $\displaystyle\vec{v} = {@vVec@}$, $\displaystyle\vec{q} = {@qVec@}$, $\displaystyle\vec{w}_1 = {@w1Vec@}$, $\displaystyle\vec{w}_2 = {@w2Vec@}$ .

(a) Bestimmen Sie $t, \, s_1 \, s_2 \in \mathbb{R}$ mit $g(t) = h(s_1,s_2)$ und geben Sie $t, \, s_1$ und $s_2$ exakt an.

(i) Es ist $t = \, $[[input:ans1]] .

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

(ii) Es ist $s_1 = \, $[[input:ans2]] und es ist $s_2 = \, $[[input:ans3]] .

[[validation:ans2]][[validation:ans3]]

[[feedback:prt2]]

(b) Bestimmen Sie den Ortsvektor $\vec{r}$ des eindeutigen Schnittpunkts $r$ von $G$ und $E$ und geben Sie die Komponenten von $\vec{r}$ an.

Es ist $\vec{r} = \, $[[input:ans4]] .

[[validation:ans4]]

[[feedback:prt3]]

]]> zu (a)(i) Ein Punkt $g(t)$ liegt genau dann in $E$, wenn

$\displaystyle (g(t)-\vec{q}) \cdot \vec{n} = 0 \quad \text{(1)} $

ist. Dabei bezeichne $\vec{n} = \vec{w}_1 \times \vec{w}_2$ einen Normalenvektor der Ebene $E$. Da das Skalarprodukt bilinear ist, ist (1) äquivalent zu

$\displaystyle (\vec{p} - \vec{q} ) \cdot \vec{n} + t \, \vec{v} \cdot \vec{n} = 0 $.

Da $\vec{v} \cdot \vec{n}$ ungleich null ist, ist $t$ eindeutig bestimmt durch

$\displaystyle t = \frac{(\vec{q} - \vec{p} ) \cdot \vec{n}}{\vec{v} \cdot \vec{n}} $.

Für

$\displaystyle\vec{q} - \vec{p} = {@qVec-pVec@}$, $\displaystyle\vec{n} = {@nVec@}$.

folgt schließlich $t = {@ TAns1@}$.

zu (a)(ii) Mithilfe der in Aufgabenteil (a)(i) bestimmten reellen Zahl $t$ lässt sich der Ortsvektor $\vec{r} = g(t)$ des Schnittpunktes $r$ bestimmen (siehe Aufgabenteil (b)). Die Bedingung

$\displaystyle \vec{r} = h(s_1,s_2) = \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$

ist ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem, das sich eindeutig lösen lässt zu $s_1 = {@ TAns2@}$ und $s_2 = {@ TAns3@}$.

zu (b) Mithilfe der in Aufgabenteil (a)(i) bestimmten reellen Zahl $t$ lässt sich der Ortsvektor $\vec{r} = g(t)$ des Schnittpunktes $r$ bestimmen zu

$\displaystyle \vec{r} = {@rVec@}$.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 nach einer Idee von Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger an der Ruhr-Universität Bochum. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Um eine Kopie der Lizenz zu erhalten, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. SPDX-License-Identifier: CC-BY-SA-4.0 */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* --- */ ListComp1 : random_permutation([-1,0,1,2,3]); ListComp2 : random_permutation([-1,1,2]); ListComp3 : random_permutation([-1,1]); /* Definition des Ortsvektors qVec und der linear unabhängigen Stützvektoren w1Vec, w2Ve */ qVec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); u1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); u2Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]); u3Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]); u4Vec : ListComp3[1]*matrix([0],[ListComp2[3]],[ListComp2[2]]); List1Vec : random_permutation([u2Vec,u3Vec,u4Vec]); List2Vec : random_permutation([u1Vec,List1Vec[1]]); w1Vec : List2Vec[1]; w2Vec : List2Vec[2]; w3Vec : List1Vec[2]; /* w3Vec ergänzt w1Vec und w2Vec zu einer Basis */ /* --- */ ListComp4 : random_permutation([0,1,1]); ListComp5 : random_permutation([-2,-1,0,1,2]); ListComp6 : random_permutation([-2,-1,1,2]); /* Definition des Ortsvektors pVec und des Richtungsvektors vVec */ pVec : qVec + ListComp3[2]*w3Vec - ListComp4[1]*w1Vec + ListComp4[2]*w2Vec; rVec : qVec + ListComp5[1]*w1Vec + ListComp5[2]*w2Vec; vVec : ListComp6[1]*(rVec-pVec); /* Objekte zur Überprüfung der Antwort der Studierenden */ nVec : VectorProduct(w1Vec,w2Vec); /* Normalenvektor der Ebene E */ n1Vec : matrix([vVec[2,1]],[-vVec[1,1]],[0]); /* Normalenvektoren der Geraden G */ n2Vec : matrix([vVec[3,1]],[0],[-vVec[1,1]]); /* Normalenvektoren der Geraden G */ /* Antworten */ TAns1 : 1/ListComp6[1]; TAns2 : ListComp5[1]; TAns3 : ListComp5[2]; TAns4 : rVec; /* Falsche Antwort */ TAns1W1 : p1Vec + vPerp1; TAns2W1 : matrix([0],[0],[0]); TAns3W1 : vPerp1; TAns4W1 : pVec; TAns4W2 : qVec; TAns4W3 : pVec + w1Vec + w2Vec;]]> Hinweis 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 algebraic TAns1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans2 algebraic TAns2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans3 algebraic TAns3 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans4 matrix TAns4 5 1 0 0 0 0 0 0 0 prt1 1.0000000 1 1 1 AlgEquiv ans1 TAns1 1 + 1 -1 prt1-2-T zu (a)(i) Für die von Ihnen für $t$ eingegebene reelle Zahl liegt $g(t)$ in $E$. Insbesondere existieren eindeutige reelle Zahlen $s_1$ und $s_2$ mit $g(t) = h(s_1,s_2)$.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt1-2-F zu (a)(i) Für die von Ihnen für $t$ eingegebene reelle Zahl liegt $g(t)$ nicht in $E$, sodass keine reellen Zahlen $s_1$ und $s_2$ mit $g(t) = h(s_1,s_2)$ existieren.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist falsch.

]]> prt2 1.0000000 1 1 0 AlgEquiv [ans2,ans3] [TAns2,TAns3] 1 + 1 -1 prt4-1-T zu (a)(ii) Für die von Ihnen für $s_1$ und $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen liegt $h(s_1,s_2)$ in $G$. Insbesondere existiert eine eindeutige reelle Zahl $t$ mit $g(t) = h(s_1,s_2)$.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt4-1-F zu (a)(ii) Für die von Ihnen für $s_1$ un d $s_2$ eingegebenen reellen Zahlen liegt $h(s_1,s_2)$ nicht in $G$, sodass keine reelle Zahl $t$ mit $g(t) = h(s_1,s_2)$ existiert.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist falsch.

]]> prt3 1.0000000 1 1 T1SAns3 : transpose(ans4-pVec); T2SAns3 : transpose(ans4-qVec); ComplCheck1 : abs(T1SAns3.n1Vec) + abs(T1SAns3.n2Vec); ComplCheck2 : T2SAns3.nVec ; 0 AlgEquiv ComplCheck1 0 1 + 0.5 1 prt3-1-T + 0 2 prt3-1-F 1 AlgEquiv ComplCheck2 0 1 + 0.5 -1 prt3-2-T zu (b) Sie haben den Ortsvektor $\vec{r}$ der Schnittpunktes $r$ von $G$ und $E$ korrekt angegeben..

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt3-2-F zu (b) Der von Ihnen für den Ortsvektor $\vec{r}$ eingegebene Vektor repräsentiert einen Punkt, der zwar in $G$, aber nicht in $E$ liegt.

Ihre Antwort zu (b) ist in diesem Sinne teilweise richtig.

]]> 2 AlgEquiv ComplCheck2 0 1 + 0.5 -1 prt3-3-T zu (b) Der von Ihnen für den Ortsvektor $\vec{r}$ eingegebene Vektor repräsentiert einen Punkt, der zwar in $E$, aber nicht in $G$ liegt.

Ihre Antwort zu (b) ist in diesem Sinne teilweise richtig.

]]> - 0 -1 prt3-3-F zu (b) Der von Ihnen für den Ortsvektor $\vec{r}$ eingegebene Vektor repräsentiert einen Punkt, der weder in $E$ noch in $G$ liegt.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> 1 ans1 TAns1 ans2 TAns2 ans3 TAns3 ans4 TAns4 prt1 1.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 prt4-1-T prt3 1.0000000 prt3-2-T 2 ans1 ans2 ans3 ans4 TAns4W1 prt1 NULL prt2 NULL prt3 0.5000000 prt3-2-F 3 ans1 ans2 ans3 ans4 TAns4W2 prt1 NULL prt2 NULL prt3 0.5000000 prt3-3-T 4 ans1 ans2 ans3 ans4 TAns4W3 prt1 NULL prt2 NULL prt3 0.0000000 prt3-3-F Gerade Ebene Lagebeziehung Lagebeziehung von Geraden und Ebenen (3) (Halbgeraden) Seien $G$ eine Gerade und $E$ eine Ebene in $\mathbb{R}^3$, die sich in genau einem Punkt schneiden. Die Gerade $G$ werde parametrisiert durch

$\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle t \mapsto \vec{p} + t \, \vec{v}$

und die Ebene $E$ werde parametrisiert durch

$\displaystyle h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle (s_1,s_2) \mapsto \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$

mit

$\displaystyle\vec{p} = {@pVec@}$, $\displaystyle\vec{v} = {@vVec@}$, $\displaystyle\vec{q} = {@qVec@}$, $\displaystyle\vec{w}_1 = {@w1Vec@}$, $\displaystyle\vec{w}_2 = {@w2Vec@}$ .

Die Menge

$\displaystyle G_{+} = \{ g(t) \mid t > 0 \}$

definiert eine Halbgerade in $G$.

(a) Bestimmen Sie die reelle Zahl $t \in \mathbb{R}$ mit $g(t) \in E$ und geben Sie $t$ exakt an.

(i) Es ist $t = \, $[[input:ans5]] .

[[validation:ans5]]

[[feedback:prt4]]

(b) Sei $r = g(t)$ der Schnittpunkt von $G$ und $E$ für $t$ aus Aufgabenteil (a). Entscheiden Sie mithilfe von $t$, ob $r$ ein Element der Halbgeraden $G_{+}$ ist. Vervollständigen Sie dazu den folgenden Lückentext.

Der Punkt $r$ ist [[input:ans1]] Element von $G_{+}$.

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

]]> zu (a) Die Bedingung $\displaystyle g(t) \in E$ ist äquivalent zu der Gleichung

$\displaystyle 0 = \vec{n} \cdot (g(t)-\vec{q}) = t \, \vec{n} \cdot \vec{v} + \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) $.

Da $\vec{n} \cdot \vec{v}$ ungleich null ist, ist die Gleichung äquivalent zu

$\displaystyle t = \frac{\vec{n} \cdot (\vec{q} - \vec{p})}{\vec{n} \cdot \vec{v}} $.

Folglich sind für $t = {@TAnsA1@}$ die obigen Gleichungen beziehungsweise die obige Bedingung erfüllt.

zu (b) Da $t \, {@ListComp6[TimeSign[1]]@} \, 0$ ist, ist der Punkt $r = g(t)$ {@ListComp5[TimeSign[1]]@} Element der Halbgeraden $G_{+}$.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 nach einer Idee von Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger an der Ruhr-Universität Bochum. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Um eine Kopie der Lizenz zu erhalten, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. SPDX-License-Identifier: CC-BY-SA-4.0 */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* Notation */ texput(las,"<"); texput(gas,">"); /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* --- */ ListComp1 : random_permutation([-1,0,1,2,3]); ListComp2 : random_permutation([-1,1,2]); ListComp3 : random_permutation([-2,-1,1,2]); ListComp4 : random_permutation([3,4,5]); /* Definition des Ortsvektors qVec und der linear unabhängigen Stützvektoren w1Vec, w2Ve */ qVec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); u1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); u2Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]); u3Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]); u4Vec : ListComp3[1]*matrix([0],[ListComp2[3]],[ListComp2[2]]); List1Vec : random_permutation([u2Vec,u3Vec,u4Vec]); List2Vec : random_permutation([u1Vec,List1Vec[1]]); w1Vec : List2Vec[1]; w2Vec : List2Vec[2]; w3Vec : List1Vec[2]; /* w3Vec ergänzt w1Vec und w2Vec zu einer Basis */ /* Definition des Ortsvektors rVec*/ rVec : qVec + rand([-1,1]) * w1Vec + rand([-1,1]) * w2Vec; /* Definition des Ortsvektors pVec und des Richtungsvektors vVec */ vVec : rand([w3Vec+rand([-1,1])*w1Vec, w3Vec+rand([-1,1])*w2Vec]); TimeSign : random_permutation([1,2]); TimeParam : ((-1)^TimeSign[1])*rand([1,2,3]); pVec : rVec + TimeParam * vVec ; ListComp5 : ["ein", "kein"]; ListComp6 : [gas, las]; /* Antworten */ TAnsA1 : -TimeParam; TAnsA3 : [[1,true,ListComp5[TimeSign[1]]],[2,false,ListComp5[TimeSign[2]]]]; /* Falsche Antworten */ TAnsA1W1 : TimeParam; TAnsA1W2 : -2*TimeParam;]]> Hinweis 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 dropdown TAnsA3 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans5 algebraic TAnsA1 5 1 0 0 0 0 1 0 0 prt1 1.0000000 1 1 0); TextMod2 : "" if RayCheck then ( TextMod2 : "ein" ) else ( TextMod2 : "kein" )]]> 1 AlgEquiv ans5 TAnsA1 1 + 0 3 prt1-2-T + 0 2 prt1-2-F 2 AlgEquiv TAnsA3[ans1][3] TextMod2 1 + 0.5 -1 prt1-3-T zu (b) Für die von Ihnen für $t$ eingegebene reelle Zahl ist $g(t)$ {@TextMod2@} Element von $G_{+}$. Da für die von Ihnen für $t$ eingegebene reelle Zahl $g(t)$ und $r$ nicht übereinstimmen, erlaubt dies allerdings keine Aussage darüber, ob $r$ ein Element von $G_{+}$ ist.

Ihre Antwort zu (b) ist teilweise richtig.

]]> + 0 -1 prt1-3-F zu (b) Für die von Ihnen für $t$ eingegebene reelle Zahl ist $g(t)$ {@TextMod2@} Element von $G_{+}$. Da für die von Ihnen für $t$ eingegebene reelle Zahl $g(t)$ und $r$ nicht übereinstimmen, erlaubt dies allerdings keine Aussage darüber, ob $r$ ein Element von $G_{+}$ ist.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> 3 AlgEquiv ans1 1 1 + 1 -1 prt1-4-T zu (b) Es ist $r$ {@ListComp5[1]@} Element von $G_{+}$.

Ihre Antwort zu (b) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt1-4-F zu (b) Es ist $r$ {@ListComp5[1]@} Element von $G_{+}$.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> prt4 1.0000000 1 1 0 AlgEquiv ans5 TAnsA1 1 + 1 -1 prt4-1-T zu (a) Für die von Ihnen für $t$ eingegebene reelle Zahl liegt $g(t)$ in $E$.

Ihre Antwort zu (a) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt4-1-F zu (a) Für die von Ihnen für $t$ eingegebene reelle Zahl liegt $g(t)$ nicht in $E$.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> 1 ans1 first(mcq_correct(TAnsA3)) ans5 TAnsA1 prt1 1.0000000 prt1-4-T prt4 1.0000000 prt4-1-T 2 ans1 first(mcq_incorrect(TAnsA3)) ans5 TAnsA1 prt1 0.0000000 prt1-4-F prt4 1.0000000 prt4-1-T 3 ans1 first(mcq_incorrect(TAnsA3)) ans5 TAnsA1W1 prt1 0.5000000 prt1-3-T prt4 0.0000000 prt4-1-F 4 ans1 first(mcq_correct(TAnsA3)) ans5 TAnsA1W1 prt1 0.0000000 prt1-3-F prt4 0.0000000 prt4-1-F 5 ans1 first(mcq_correct(TAnsA3)) ans5 TAnsA1W2 prt1 0.5000000 prt1-3-T prt4 0.0000000 prt4-1-F 6 ans1 first(mcq_incorrect(TAnsA3)) ans5 TAnsA1W2 prt1 0.0000000 prt1-3-F prt4 0.0000000 prt4-1-F Gerade Halbgerade Ebene Lagebeziehung von Geraden und Ebenen (4) (Halbebenen) Seien $G$ eine Gerade und $E$ eine Ebene in $\mathbb{R}^3$, die sich in genau einem Punkt schneiden. Die Gerade $G$ werde parametrisiert durch

$\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle t \mapsto \vec{p} + t \, \vec{v}$

und die Ebene $E$ werde parametrisiert durch

$\displaystyle h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle (s_1,s_2) \mapsto \vec{q} + s_1 \, \vec{w}_1 + s_2 \, \vec{w}_2$.

Die Menge

$\displaystyle H = \{ h(s_1,s_2) \mid 0 \leq s_2 \}$

definiert eine Halbebene in $E$. Im Folgenden seien

$\displaystyle\vec{q} = {@qVec@}$, $\displaystyle\vec{w}_1 = {@w1Vec@}$, $\displaystyle\vec{w}_2 = {@w2Vec@}$ .

(a) Geben Sie einen Ortsvektor $\vec{p}$ und einen Richtungsvektor $\vec{v}$ an, sodass die Gerade $G$ die Halbebene $H$ schneidet und die Gerade $G$ die Halbebene $E \setminus H$ nicht schneidet.

(i) Es ist $\vec{p} = \,$[[input:ans1]].

[[validation:ans1]]

(ii) Es ist $\vec{v} = \,$[[input:ans2]].

[[validation:ans2]]

[[feedback:prt1]]

(b) Geben Sie einen Ortsvektor $\vec{p}$ und einen Richtungsvektor $\vec{v}$ an, sodass die Gerade $G$ die Halbebene $H$ und die Halbebene $E \setminus H$ schneidet.

(i) Es ist $\vec{p} = \,$[[input:ans3]].

[[validation:ans3]]

(ii) Es ist $\vec{v} = \,$[[input:ans4]].

[[validation:ans4]]

[[feedback:prt2]]

]]> zu (a) Wähle zum Beispiel $\vec{p} = \vec{q} + \vec{w_2}$ und $\vec{v} = \vec{w_1}$. Dann ist $g(t) = h(t,1) \in H$ für alle $t \in \mathbb{R}$.

zu (b) Wähle zum Beispiel $\vec{p} = \vec{q}$ und $\vec{v} = \vec{w_2}$. Dann ist $g(t) = h(0,t) \in H$ für alle $t \geq 0$ und $g(t) = h(0,t) \in E \setminus H$ für alle $t < 0$.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 nach einer Idee von Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger an der Ruhr-Universität Bochum. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Um eine Kopie der Lizenz zu erhalten, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. SPDX-License-Identifier: CC-BY-SA-4.0 */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* --- */ ListComp1 : random_permutation([-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,5]); ListComp2 : random_permutation([-1,1,2,3]); ListComp3 : random_permutation([-1,1]); /* Definition des Ortsvektors qVec und der linear unabhängigen Stützvektoren w1Vec, w2Ve */ qVec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); u1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); u2Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]); u3Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]); u4Vec : ListComp3[1]*matrix([0],[ListComp2[3]],[ListComp2[2]]); List1Vec : random_permutation([u2Vec,u3Vec,u4Vec]); List2Vec : random_permutation([u1Vec,List1Vec[1]]); Coeff1 : rand([2,4,6]); w1Vec : Coeff1*List2Vec[1]; w2Vec : Coeff1*List2Vec[2] + List1Vec[2]; /* Definition der Ortsvektoren pVecA und pVecB*/ pVecA : qVec + w2Vec; pVecB : qVec - w2Vec; /* Definition der Richtungsvektoren vVecA und vVecB*/ vVecA : w1Vec; vVecB : w2Vec; /* Objekte zur Überprüfung der Antwort der Studierenden */ nVec : VectorProduct(w1Vec, w2Vec); MakeIntoLine(M) := [M[1][1],M[2][1],M[3][1]]; MatrixA : transpose(matrix(MakeIntoLine(w1Vec), MakeIntoLine(w2Vec), MakeIntoLine(nVec))); InverseA : invert(MatrixA); /* Antworten */ TAnsA1 : pVecA; TAnsA2 : vVecA; TAnsB1 : pVecB; TAnsB2 : vVecB; /* Alternative Antworten */ TAnsA1Alt1 : qVec; TAnsA2Alt1 : nVec; /*Falsche Antworte */ TAnsA1W1 : qVec-w2Vec; TAnsA2W1 : nVec; TAnsA1W2 : qVec - w2Vec; TAnsA2W2 : nVec; TAnsA1W3 : qVec; TAnsA2W3 : w2Vec; TAnsA1W4 : qVec - w2Vec; TAnsA2W4 : w1Vec; TAnsB1W1 : qVec+nVec; TAnsB2W1 : nVec; TAnsB1W2 : qVec+nVec; TAnsB2W2 : w1Vec; TAnsB1W3 : qVec - w2Vec; TAnsB2W3 : w1Vec;]]> Hinweis 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 matrix TAnsA1 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans2 matrix TAnsA2 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans3 matrix TAnsB1 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans4 matrix TAnsB2 5 1 0 0 0 0 1 0 0 prt1 1.0000000 1 1 = 0) ) if AnswerCheck1 then ( SAns2 : InverseA.(ans1-qVec), AnswerCheck3 : is(SAns2[1][1] = 0), AnswerCheck4 : is(transpose(ans2).w2Vec = 0), AnswerCheck5 : is(SAns2[2][1] >= 0) )]]> 1 AlgEquiv AnswerCheck1 true 1 + 0 3 prt1-2-T + 0 2 prt1-2-F 2 AlgEquiv AnswerCheck2 true 1 + 1 -1 prt1-3-T zu (a) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist ein Element von $H$.

Ihre Antwort zu (a) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt1-3-F zu (a) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist jedoch ein Element von $E \setminus H$.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> 3 AlgEquiv AnswerCheck3 true 1 + 0 4 prt1-4-T + 0 -1 prt1-4-F zu (a) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ nicht. Da $H$ eine Teilmenge von $E$ ist, schneidet $G$ insbesondere $H$ nicht.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> 4 AlgEquiv AnswerCheck4 true 1 + 0 5 prt1-5-T + 0 -1 prt1-5-F zu (a) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, ist die Gerade $G$ vollständig in der Ebene $E$ enthalten. Dabei schneidet $G$ sowohl die Halbebene $H$ als auch die Halbebene $E \setminus H$.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> 5 AlgEquiv AnswerCheck5 true 1 + 1 -1 prt1-6-T zu (a) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, ist die Gerade $G$ vollständig in der Ebene $E$ enthalten. Dabei schneidet $G$ die Halbebene$H$, aber nicht die Halbebene $E \setminus H$.

Ihre Antwort zu (a) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt1-6-F zu (a) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, ist die Gerade $G$ vollständig in $E \setminus H$ enthalten und schneidet $H$ somit nicht.

Ihre Antwort zu (a) ist falsch.

]]> prt2 1.0000000 1 1 AnswerCheck1 : is(transpose(nVec).ans4 = 0); if AnswerCheck1 then ( SAns2 : InverseA.(ans3-qVec), AnswerCheck3 : is(SAns2[3][1] = 0), AnswerCheck4 : is(transpose(ans4).w2Vec = 0) ) 0 AlgEquiv AnswerCheck1 true 1 + 0 1 prt2-1-T = 0 -1 prt2-1-F zu (b) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ in genau einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist entweder ein Element von $H$ oder ein Element von $E \setminus H$.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> 1 AlgEquiv AnswerCheck3 true 1 + 0 2 prt2-2-T - 0 -1 prt2-2-F zu (b) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, schneidet die Gerade $G$ die Ebene $E$ nicht. Da sowohl $H$ als auch $E\setminus H$ Teilmengen von $E$ sind, schneidet $G$ weder $H$ noch $E \setminus H$.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> 2 AlgEquiv not(AnswerCheck4) true 0 + 1 -1 prt2-3-T zu (b) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, ist die Gerade $G$ vollständig in der Ebene $E$ enthalten. Dabei schneidet $G$ sowohl die Halbebene $H$ als auch die Halbebene $E \setminus H$.

Ihre Antwort zu (b) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt2-3-F zu (b) Für die von Ihnen für $\vec{p}$ und $\vec{v}$ ausgewählten Vektoren, ist die Gerade $G$ entweder vollständig in der Halbebene $H$ oder vollständig in der Halbebene $E \setminus H $ enthalten.

Ihre Antwort zu (b) ist falsch.

]]> 1 ans1 TAnsA1 ans2 TAnsA2 ans3 TAnsB1 ans4 TAnsB2 prt1 1.0000000 prt1-6-T prt2 1.0000000 prt2-3-T 2 ans1 TAnsA1W1 ans2 TAnsA2W1 ans3 TAnsB1W1 ans4 TAnsB2W1 prt1 0.0000000 prt1-3-F prt2 0.0000000 prt2-1-F 3 ans1 TAnsA1W2 ans2 TAnsA2W2 ans3 TAnsB1W2 ans4 TAnsB2W2 prt1 0.0000000 prt1-3-F prt2 0.0000000 prt2-2-F 4 ans1 TAnsA1W3 ans2 TAnsA2W3 ans3 TAnsB1W3 ans4 TAnsB2W3 prt1 0.0000000 prt1-5-F prt2 0.0000000 prt2-3-F 5 ans1 TAnsA1W4 ans2 TAnsA2W4 ans3 ans4 prt1 0.0000000 prt1-6-F prt2 NULL 6 ans1 TAnsA1Alt1 ans2 TAnsA2Alt1 ans3 ans4 prt1 1.0000000 prt1-3-T prt2 NULL Gerade Ebene Lagebeziehung Halbebene Lagebeziehung von Geraden und Ebenen (5) (Orientierung) Sei $G$ eine von dem Vektor $\vec{v}$ aufgespannte Gerade und sei $E$ eine von den Vektoren $\vec{w}_1$ und $\vec{w}_2$ aufgespannte Ebene in $\mathbb{R}^3$ mit

$\displaystyle\vec{v} = {@vVec@}$, $\displaystyle\vec{w}_1 = {@w1Vec@}$, $\displaystyle\vec{w}_2 = {@w2Vec@}$ .

Vorder- und Rückseiten von Ebenen

Das Tuptel $(\vec{w}_1,\vec{w}_2)$ bestimmt im folgenden Sinne die Wahl einer Vorder- und Rückseite von $E$. Wir nennen die Menge

$\displaystyle V_{(\vec{w}_1,\vec{w}_2)} = \{\vec{u} \in R^3 \mid \vec{u} \cdot \vec{n} < 0\}$

aller Vektoren $\vec{u}$, für die das Standardskalarprodukt $\vec{u} \cdot \vec{n}$ von $\vec{u}$ und $\vec{n} = \vec{w}_1 \times \vec{w}_2$ negativ ist, die Vorderseite von $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$ und die Menge

$\displaystyle R_{(\vec{w}_1,\vec{w}_2)} = \{\vec{u} \in R^3 \mid \vec{u} \cdot \vec{n} > 0\}$

aller Vektoren $\vec{u}$, für die $\vec{u} \cdot \vec{n}$ positiv ist, die Rückseite von $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$. Die Richtung von $v$ bestimmt im folgenden Sinne, ob die von $v$ aufgespannte Gerade $G$ die Vorderseite oder Rückseite der Ebene $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$ schneidet. Wir sagen, dass die von $v$ aufgespannte Gerade $G$ die Vorderseite (Rückseite) der Ebene $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$ schneidet, falls die Gerade $G$ die Ebene $E$ schneidet und $\vec{v}$ Element der Vorderseite (Rückseite) der Ebene $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$ ist.

(a) Bestimmen Sie den Normalenvektor $\vec{n} = \vec{w}_1 \times \vec{w}_2$ und das Standardskalarprodukt $\vec{n} \cdot \vec{v}$ von $\vec{n}$ und $\vec{v}$.

(i) Es ist $\vec{n} =\,$[[input:ans1]] .

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

(ii) Es ist $\vec{n} \cdot \vec{v} =\,$[[input:ans2]] .

[[validation:ans2]]

[[feedback:prt2]]

(b) Vervollständigen Sie (mithilfe von Aufgabenteil (a)) die folgenden Aussagen zu im Allgemeinen wahren Aussagen über die Lagebeziehung von $G$ und $E$.

(i) Die von ${@TermModB1[1]@}$ aufespannte Gerade $G$ schneidet [[input:ans3]] der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB1[2]@}, {@TermModB1[3]@})$.

[[validation:ans3]]

[[feedback:prt3]]

(ii) Die von ${@TermModB2[1]@}$ aufespannte Gerade $G$ schneidet [[input:ans4]] der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB2[2]@}, {@TermModB2[3]@})$.

[[validation:ans4]]

[[feedback:prt4]]

(iii) Die von ${@TermModB3[1]@}$ aufespannte Gerade $G$ schneidet [[input:ans5]] der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB3[2]@}, {@TermModB3[3]@})$.

[[validation:ans5]]

[[feedback:prt5]]

(c) Geben Sie einen Vektor $\vec{w}$ an, sodass eine von $\vec{w}$ aufgespannte Gerade {@TextMod[3]@} der Ebene $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$ schneidet.

Es ist $\vec{w} =\,$[[input:ans6]] .

[[validation:ans6]]

[[feedback:prt6]]

]]> zu (a)(i) Das Kreuzprodukt $\vec{w_1}$ und $\vec{w_2} $ ist

$\displaystyle \vec{n} = \vec{w}_1 \times \vec{w}_2 = {@w1Vec@} \times {@w2Vec@} = {@ TAnsA1@}$.

zu (a)(ii) Das Standardskalarprodukt von $\vec{n}$ und $\vec{v}$ ist

$\displaystyle \vec{n} \cdot \vec{v} = {@ TAnsA2@}$.

zu (b)(i) Da gemäß Aufgabenteil (a)(ii) ${@TermModB1[4]@} \cdot {@TermModB1[1]@}\;{@EqMod[IndexList[1]]@}\;0$ ist, schneidet die von ${@TermModB1[1]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TextMod[IndexList[1]]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB1[2]@} ,{@TermModB1[3]@})$.

zu (b)(ii) Da $ {@TermModB2[2]@}\, \times \, {@TermModB2[3]@} = {@TermModB2[4]@}$ und damit ${@TermModB2[4]@} \cdot {@TermModB2[1]@}\;{@EqMod[IndexList[2]]@}\;0$ ist, schneidet die von ${@TermModB2[1]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TextMod[IndexList[2]]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB2[2]@} ,{@TermModB2[3]@})$.

zu (b)(iii) Da $ {@TermModB3[2]@}\, \times \, {@TermModB3[3]@} = {@TermModB3[4]@}$ und damit ${@TermModB3[4]@} \cdot {@TermModB3[1]@}\;{@EqMod[IndexList[1]]@}\;0$ ist, schneidet die von ${@TermModB3[1]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TextMod[IndexList[1]]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB3[2]@} ,{@TermModB3[3]@})$.

zu (c) Für den Vektor $\vec{w} = \vec{w}_1$ ist $\vec{n} \cdot \vec{w} = 0$. Folglich schneidet eine von $\vec{w}$ aufgespannte Gerade {@TextMod[3]@} der Ebene $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 nach einer Idee von Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger an der Ruhr-Universität Bochum. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Um eine Kopie der Lizenz zu erhalten, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. SPDX-License-Identifier: CC-BY-SA-4.0 */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* ---------------------------------------------------------- */ /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* --- */ ListComp1 : random_permutation([-1,0,1,2,3]); ListComp2 : random_permutation([-1,1,2]); ListComp3 : random_permutation([-1,1]); /* Definition der linear unabhängigen Spannvektoren w1Vec, w2Vec */ u1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); u2Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]); u3Vec : ListComp3[1]*matrix([ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]); u4Vec : ListComp3[1]*matrix([0],[ListComp2[3]],[ListComp2[2]]); List1Vec : random_permutation([u2Vec,u3Vec,u4Vec]); List2Vec : random_permutation([u1Vec,List1Vec[1]]); w1Vec : List2Vec[1]; w2Vec : List2Vec[2]; w3Vec : List1Vec[2]; /* w3Vec ergänzt w1Vec und w2Vec zu einer Basis */ /* --- */ ListComp4 : random_permutation([0,1,1]); ListComp5 : random_permutation([-2,-1,0,1,2]); ListComp6 : random_permutation([-2,-1,1,2]); /* Definition des Normalenvektors nVec */ IndexList : random_permutation([1,2]); /* Index entscheidet über Lagebeziehung */ nVec : ((-1)^IndexList[1])*VectorProduct(w1Vec,w2Vec); /* Definition des Richtungsvektors vVec */ vVec : nVec + rand([w1Vec, -w1Vec, w2Vec, -w2Vec]); /* Textbausteine */ texput(v,"\\vec{v}"); texput(w1,"\\vec{w}_1"); texput(w2,"\\vec{w}_2"); texput(n,"\\vec{n}"); texput(las,"<"); texput(gas,">"); texput(eqt,"="); TextMod : ["die Vorderseite", "die Rückseite", "weder Vorder- noch Rückseite"]; EqMod : [las, gas, eqt]; IndexMod : random_permutation([1,2]); TermModB1 : [v,w1,w2,n]; TermModB2 : [[v,w1+w2,w1,-n],[-v,w1+w2,w2,n]][IndexMod[1]]; TermModB3 : [[-v,w1+w2,w1,-n],[v,w1,w1+w2,n]][IndexMod[1]]; /* Antworten */ TAnsA1 : nVec; TAnsA2 : transpose(nVec).vVec; TAnsB1 : [[1,true, TextMod[IndexList[1]]], [2, false, TextMod[IndexList[2]] ], [3,false, TextMod[3]]]; TAnsB2 : [[1,true, TextMod[IndexList[2]]], [2, false, TextMod[IndexList[1]] ], [3,false, TextMod[3]]]; TAnsB3 : [[1,true, TextMod[IndexList[1]]], [2, false, TextMod[IndexList[2]] ], [3,false, TextMod[3]]]; TAnsC : w1Vec; /* Falsche Antworten */ TAnsA1W1 : -nVec; TAnsA1W2 : nVec + w1Vec; TAnsA1W3 : w1Vec; TAnsA1W4 : w1Vec - w1Vec; TAnsA2W1 : -TAnsA2; TAnsA2W2 : transpose(TAnsA1W2).vVec; TAnsA2W3 : transpose(TAnsA1W3).vVec; TAnsA2W4 : transpose(vVec).vVec; TAnsB1W1 : 2; TAnsB2W1 : 2; TAnsB3W1 : 2; TAnsCW1 : -nVec; TAnsCW2 : nVec;]]> Hinweis 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 matrix TAnsA1 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans2 algebraic TAnsA2 5 1 0 0 0 0 1 0 0 ans3 dropdown random_permutation(TAnsB1) 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans4 dropdown random_permutation(TAnsB2) 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans5 dropdown random_permutation(TAnsB3) 15 1 0 0 0 0 0 0 0 ans6 matrix TAnsC 5 1 0 0 0 0 1 0 0 prt1 1.0000000 1 1 AnswerCheck1 : not(is(transpose(nVec).ans1 = 0)); 1 AlgEquiv ans1 TAnsA1 1 + 1 -1 prt1-2-T zu (a)(i) Sie haben den Normalenvektor $\vec{n} = \vec{w}_1 \times \vec{w}_2$ von $E$ korrekt angegeben.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist richtig.

]]> + 0 2 prt1-2-F 2 AlgEquiv ans1 TAnsA1W1 1 + 0.5 -1 prt1-3-T zu (a)(i) Sie haben den Normalenvektor $-\vec{n}$ von $E$ anstelle von $\vec{n}$ angegeben.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist teilweise richtig.

]]> + 0 3 prt1-3-F 3 AlgEquiv AnswerCheck1 true 1 + 0.25 -1 prt1-4-T zu (a)(i) Der von Ihnen für $\vec{n}$ eingegebene Vektor ist ein Normalenvektor von $E$, der aber weder mit $\vec{n} = \vec{w}_1 \times \vec{w}_2$ noch mit $-\vec{n}$ übereinstimmt.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist teilweise richtig.

]]> + 0 -1 prt1-4-F zu (a)(i) Der von Ihnen für $\vec{n}$ eingegebene Vektor ist kein Normalenvektor von $E$.

Ihre Antwort zu (a)(i) ist falsch.

]]> prt2 1.0000000 1 1 TSansA2 : transpose(vVec).ans1; 0 AlgEquiv ans2 TAnsA2 1 + 1 -1 prt4-1-T zu (a)(ii) Sie haben das Standardskalarprodukt $\vec{n} \times \vec{v}$ von $\vec{n}$ und $\vec{v}$ korrekt angegeben.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist richtig.

]]> + 0 1 prt4-1-F 1 AlgEquiv ans2 TSansA2 1 + 0.5 -1 prt2-2-T zu (a)(ii) Sie haben das Standardskalarprodukt $\vec{n} \times \vec{v}$ von dem von Ihnen in Aufgabenteil (a)(i) für $\vec{n}$ angegebenen Vektor und dem Richtungsvektor $\vec{v}$ korrekt angegeben.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist teilweise richtig.

]]> - 0 -1 prt2-2-F zu (a)(ii) Sie haben das Standardskalarprodukt $\vec{n} \times \vec{v}$ von dem von Ihnen in Aufgabenteil (a)(i) für $\vec{n}$ angegebenen Vektor und dem Richtungsvektor $\vec{v}$ nicht korrekt angegeben.

Ihre Antwort zu (a)(ii) ist falsch.

]]> 2 AlgEquiv ans1 TAnsA1 1 + 0 0 prt2-3-T + 0 1 prt2-3-F prt3 1.0000000 1 1 0 AlgEquiv ans3 1 1 + 1 -1 prt3-1-T zu (b)(i) Die von Ihnen angegebene Aussage, dass die von ${@TermModB1[ans3]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TAnsB1[ans3][3]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB1[2]@}, {@TermModB1[3]@})$ schneidet, ist richtig.

Ihre Antwort zu (b)(i) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt3-1-F zu (b)(i) Die von Ihnen angegebene Aussage, dass die von ${@TermModB1[ans3]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TAnsB1[ans3][3]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB1[2]@}, {@TermModB1[3]@})$ schneidet, ist falsch.

Ihre Antwort zu (b)(i) ist falsch.

]]> prt4 1.0000000 1 1 0 AlgEquiv ans4 1 1 + 1 -1 prt4-1-T zu (b)(ii) Die von Ihnen angegebene Aussage, dass die von ${@TermModB2[1]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TAnsB2[ans4][3]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB2[2]@}, {@TermModB2[3]@})$ schneidet, ist richtig.

Ihre Antwort zu (b)(ii) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt4-1-F zu (b)(ii) Die von Ihnen angegebene Aussage, dass die von ${@TermModB2[1]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TAnsB2[ans4][3]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB2[2]@}, {@TermModB2[3]@})$ schneidet, ist falsch.

Ihre Antwort zu (b)(ii) ist falsch.

]]> prt5 1.0000000 1 1 0 AlgEquiv ans5 1 0 = 1 -1 prt5-1-T zu (b)(iii) Die von Ihnen angegebene Aussage, dass die von ${@TermModB3[1]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TAnsB3[ans5][3]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB3[2]@}, {@TermModB3[3]@})$ schneidet, ist richtig.

Ihre Antwort zu (b)(iii) ist richtig.

]]> = 0 -1 prt5-1-F zu (b)(iii) Die von Ihnen angegebene Aussage, dass die von ${@TermModB3[1]@}$ aufgespannte Gerade $G$ {@TAnsB3[ans5][3]@} der Ebene $E$ bezüglich $({@TermModB3[2]@}, {@TermModB3[3]@})$ schneidet, ist falsch.

Ihre Antwort zu (b)(iii) ist falsch.

]]> prt6 1.0000000 1 1 0 AlgEquiv transpose(nVec).ans6 0 1 + 1 -1 prt6-1-T zu (c) Für den von Ihnen angegebenen Vektor $\vec{w}$ schneidet die von $\vec{w}$ aufgespannte Gerade {@TextMod[3]@} der Ebene $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$.

Ihre Antwort zu (c) ist richtig.

]]> + 0 1 prt6-1-F 1 AlgEquiv AnswerCheck2 true 1 + 0 -1 prt6-2-T zu (c) Für den von Ihnen angegebenen Vektor $\vec{w}$ schneidet die von $\vec{w}$ aufgespannte Gerade {@TextMod[1]@} der Ebene $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$.

Ihre Antwort zu (c) ist falsch.

]]> - 0 -1 prt6-2-F zu (c) Für den von Ihnen angegebenen Vektor $\vec{w}$ schneidet die von $\vec{w}$ aufgespannte Gerade {@TextMod[2]@} der Ebene $E$ bezüglich $(\vec{w}_1, \vec{w}_2)$.

Ihre Antwort zu (c) ist falsch.

]]> 1 ans1 TAnsA1 ans2 TAnsA2 ans3 first(mcq_correct(random_permutation(TAnsB1))) ans4 first(mcq_correct(random_permutation(TAnsB2))) ans5 first(mcq_correct(random_permutation(TAnsB3))) ans6 TAnsC prt1 1.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 prt4-1-T prt3 1.0000000 prt3-1-T prt4 1.0000000 prt4-1-T prt5 1.0000000 prt5-1-T prt6 1.0000000 prt6-1-T 2 ans1 TAnsA1W1 ans2 TAnsA2W1 ans3 TAnsB1W1 ans4 TAnsB2W1 ans5 TAnsB3W1 ans6 TAnsCW1 prt1 0.5000000 prt1-3-T prt2 0.5000000 prt2-2-T prt3 0.0000000 prt3-1-F prt4 0.0000000 prt4-1-F prt5 0.0000000 prt5-1-F prt6 0.0000000 prt6-2-T 3 ans1 TAnsA1W2 ans2 TAnsA2W2 ans3 ans4 ans5 ans6 TAnsCW2 prt1 0.2500000 prt1-4-T prt2 0.5000000 prt2-2-T prt3 NULL prt4 NULL prt5 NULL prt6 0.0000000 prt6-2-F 4 ans1 TAnsA1W3 ans2 TAnsA2W3 ans3 ans4 ans5 ans6 prt1 0.0000000 prt1-4-F prt2 0.5000000 prt2-2-T prt3 NULL prt4 NULL prt5 NULL prt6 NULL 5 ans1 TAnsA1W4 ans2 TAnsA2W4 ans3 ans4 ans5 ans6 prt1 0.0000000 prt1-4-F prt2 0.0000000 prt2-2-F prt3 NULL prt4 NULL prt5 NULL prt6 NULL orientierung Gerade Ebene Lagebeziehung