$course$/top/Lineare Algebra $course$/top/Lineare Algebra/Lagebeziehungen $course$/top/Lineare Algebra/Lagebeziehungen/Darstellungen von Geraden und Ebenen Normalendarstellung von Ebenen Seien $p_1,\,p_2,\,p_3 \in \mathbb{R}^3$ drei Punkte mit Ortsvektoren

$\displaystyle \vec{p}_1 = {@p1Vec@}$, $\displaystyle \vec{p}_2 = {@p2Vec@}$, $\displaystyle \vec{p}_3 = {@p3Vec@}$

und sei $E \subset \mathbb{R}^3$ die Ebene, die durch $p_1$, $p_2$ und $p_3$ verläuft.

Bestimmen Sie eine Normalendarstellung von $E$. Geben Sie dazu die Vektoren $\vec{q}$ und $\vec{n}$ in der Definition der Menge

$\displaystyle M = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \mid (\vec{x}-\vec{q}) \cdot \vec{n} = 0 \}$

so an, dass $M = E$ ist.

(i) Es ist $\vec{q} = \,$ [[input:ans1]] .

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

(ii) Es ist $\vec{n} = \,$ [[input:ans2]] .

[[validation:ans2]]

[[feedback:prt2]]

]]> zu (i) & (ii) Wähle zum Beispiel $\vec{q} = \vec{p}_1$ und $\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v_2}$ mit $\vec{v}_1 = \vec{p}_1-\vec{p}_2$ und $\vec{v}_2 = \vec{p}_1-\vec{p}_3$, also

$\displaystyle \vec{q} = {@p1Vec@}$, $\displaystyle \vec{n} = {@nVec@}$.

Da $\vec{n}$ ungleich dem Nullvektor ist, ist die Menge $M$ eine Ebene. Die Verbindungsvektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ spannen $E$ auf. Da der Vektor $\vec{n}$ orthogonal zu $\vec{v}_1$ und zu $\vec{v}_2$ ist, stimmt $M$ mit $E$ überein.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 ListComp1 : random_permutation([-6,-4,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6]); ListComp2 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); /* Definition der Punkte p1Vec, p2Vec, p3Vec und der Spannvektoren v1Vec, v2Vec */ p1Vec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); v1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); v2Vec : rand([-2,-1,1,2])*rand([matrix([-ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]),matrix([-ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]), matrix([0],[-ListComp2[3]],[ListComp2[2]])]); p2Vec : p1Vec + v1Vec; p3Vec : p1Vec + v2Vec; /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* Definition des Normalenvektors der durch v1Vec und v2Vec aufgespannten Ebene */ nVec : VectorProduct(v1Vec, v2Vec); nVecT : transpose(nVec); /* Antworten */ TAns1 : p1Vec; TAns2 : nVec; /* Falsche Antwort */ TAns1W1 : p1Vec + nVec; TAns2W1 : matrix([0],[0],[0]); TAns2W2 : v1Vec; /* Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger */ ListComp1 : random_permutation([-6,-4,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6]); ListComp2 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); /* Definition der Punkte p1Vec, p2Vec, p3Vec und der Spannvektoren v1Vec, v2Vec */ p1Vec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); v1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); v2Vec : rand([-2,-1,1,2])*rand([matrix([-ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]),matrix([-ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]), matrix([0],[-ListComp2[3]],[ListComp2[2]])]); 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 matrix TAns1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans2 matrix TAns2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 prt1 1.0000000 1 1 TAns1 : ans1 - p1Vec; ComplCheck : nVecT.TAns1; 1 AlgEquiv ComplCheck 0 1 + 1 -1 prt1-2-T zu (i) Sie haben den Stützvektor $\vec{q}$ korrekt bestimmt und angegeben.

Ihre Antwort zu (ii) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt1-2-F zu (i) Der von Ihnen für $\vec{q}$ eingegebene Vektor ist kein Stützvektor von $E$. Der zugehörige Punkt liegt nicht auf der Ebene $E$.

Ihre Antwort zu (i) ist falsch.

]]> prt2 1.0000000 1 1 NonZeroCheck : transpose(ans2).ans2; ComplCheck : abs(v1Vec.ans2)+abs(v2Vec.ans2); 0 AlgEquiv NonZeroCheck 0 1 + 0 -1 prt4-1-T zu (ii) Der von Ihnen als Normalenvektor $\vec{n}$ eingegebene Vektor ist identisch null. Folglich stimmt $M$ mit dem ganzen $\mathbb{R}^3$ überein und ist somit eine echte Obermenge von $E$.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> + 0 1 prt4-1-F 1 AlgEquiv ComplCheck 0 1 + 1 -1 prt2-2-T zu (ii) Sie haben den Normalenvektor $\vec{n}$ korrekt bestimmt und angegeben.

Ihre Antwort zu (ii) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt2-2-F zu (ii) Der von Ihnen als Normalenvektor $\vec{n}$ eingegebene Vektor ist nicht orthogonal zu $E$. Folglich ist die Menge $M$ nicht mit $E$ identisch.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> 1 ans1 TAns1 ans2 TAns2 prt1 1.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 prt2-2-T 2 ans1 TAns1W1 ans2 TAns2W1 prt1 0.0000000 prt1-2-F prt2 0.0000000 prt4-1-T 3 ans1 ans2 TAns2W2 prt1 NULL prt2 0.0000000 prt2-2-F Ebene Normalendarstellung Normalendarstellung von Geraden Seien $p_1,\,p_2 \in \mathbb{R}^3$ zwei Punkte mit Ortsvektoren

$\displaystyle \vec{p}_1 = {@p1Vec@}$, $\displaystyle \vec{p}_2 = {@p2Vec@}$

und sei $G \subset \mathbb{R}^3$ die Gerade, die durch $p_1$ und $p_2$ verläuft.

Bestimmen Sie eine Normalendarstellung von $G$. Geben Sie dazu die Vektoren $\vec{q}$, $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ in der Definition der Menge

$\displaystyle M = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \mid (\vec{x}-\vec{q}) \cdot \vec{n}_1 = 0 =(\vec{x}-\vec{q}) \cdot \vec{n}_2 \}$

so an, dass $M = E$ ist.

(i) Es ist $\vec{q} = \,$ [[input:ans1]] .

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

(ii) Es ist $\vec{n}_1 = \,$ [[input:ans2]] und es ist $\vec{n}_2 = \,$ [[input:ans3]] .

[[validation:ans2]][[validation:ans3]]

[[feedback:prt2]]

]]> zu (i) & (ii) Wähle zum Beispiel $\vec{q} = \vec{p}_1$, $\vec{n}_1 = ({@vVec[2]@}, {@-vVec[1]@} , 0) $ und $\vec{n}_2 = ({@vVec[3]@}, 0, {@-vVec[1]@} ) $, also

$\displaystyle \vec{q} = {@p1Vec@}$, $\displaystyle \vec{n}_1 = {@n1Vec@}$, $\displaystyle \vec{n}_2 = {@n2Vec@}$.

Da $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ lineare unabhängig sind, ist die Menge $M$ eine Gerade. Da der Vektor $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ jeweils orthogonal zu $\vec{v}$ sind, stimmt $M$ mit $G$ überein.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 ListComp1 : random_permutation([-6,-4,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6]); ListComp2 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); /* Definition der Punkte p1Vec, p2Vec, p3Vec und der Spannvektoren v1Vec, v2Vec */ p1Vec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); vVec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); vVecT : transpose(vVec); p2Vec : p1Vec + vVec; /* Definition des Normalenvektors der durch v1Vec und v2Vec aufgespannten Ebene */ n1Vec : matrix([ListComp2[2]],[-ListComp2[1]],[0]); n2Vec : matrix([ListComp2[3]],[0],[-ListComp2[1]]); n1VecT : transpose(n1Vec); n2VecT : transpose(n2Vec); /* Antworten */ TAns1 : p1Vec; TAns2 : n1Vec; TAns3 : n2Vec; /* Falsche Antwort */ TAns1W1 : p1Vec + n1Vec + n2Vec; TAns2W1 : matrix([0],[0],[0]); TAns2W2 : vVec + n1Vec; TAns2W3 : vVec; TAns3W1 : matrix([0],[0],[0]); TAns3W2 : vVec + n2Vec; TAns3W3 : vVec; /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger */ ListComp1 : random_permutation([-6,-4,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6]); ListComp2 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); /* Definition der Punkte p1Vec, p2Vec, p3Vec und der Spannvektoren v1Vec, v2Vec */ p1Vec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); vVec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); vVecT : transpose(vVec); p2Vec : p1Vec + vVec; 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 matrix TAns1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans2 matrix TAns2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans3 matrix TAns3 5 1 0 0 0 0 0 0 0 prt1 1.0000000 1 1 TAns1 : ans1 - p1Vec; ComplCheck : abs(n1VecT.TAns1) + abs(n2VecT.TAns1); 1 AlgEquiv ComplCheck 0 1 + 1 -1 prt1-2-T zu (i) Sie haben den Stützvektor $\vec{q}$ korrekt bestimmt und angegeben.

Ihre Antwort zu (ii) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt1-2-F zu (i) Der von Ihnen für $\vec{q}$ eingegebene Vektor ist kein Stützvektor von $G$. Der zugehörige Punkt liegt nicht auf der Geraden $G$.

Ihre Antwort zu (i) ist falsch.

]]> prt2 2.0000000 1 1 NonZeroCheck : lmin([transpose(ans2).ans2,transpose(ans3).ans3]); ComplCheck1 : vVecT.ans2; ComplCheck2 : vVecT.ans3; CrossProdSAns : VectorProduct(ans2,ans3); LinIndCheck : transpose(CrossProdSAns).CrossProdSAns; 0 AlgEquiv NonZeroCheck 0 1 + 0 -1 prt4-1-T zu (ii) Mindestens einer der von Ihnen als Normalenvektoren $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ eingegebenen Vektoren ist identisch null. Folglich stimmt $M$ nicht mit $G$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> + 0 4 prt4-1-F 1 AlgEquiv ComplCheck1 0 1 + 0.5 2 prt2-2-T - 0 3 prt2-2-F 2 AlgEquiv ComplCheck2 0 1 + 0.5 -1 prt2-3-T zu (ii) Sie haben die Normalenvektoren $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ korrekt bestimmt und angegeben.

Ihre Antwort zu (ii) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt2-3-F zu (ii) Sie haben den Normalenvektor $\vec{n}_1$ korrekt angegeben. Mit dem von Ihnen als Normalenvektor $\vec{n}_2$ eingegebenen Vektor stimmt die Ebene $M$ nicht mit $E$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist teilweise richtig.

]]> 3 AlgEquiv ComplCheck2 0 1 + 0.5 -1 prt2-4-T zu (ii) Sie haben den Normalenvektor $\vec{n}_2$ korrekt angegeben. Mit dem von Ihnen als Normalenvektor $\vec{n}_1$ eingegebenen Vektor stimmt die Ebene $M$ nicht mit $E$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist teilweise richtig.

]]> - 0 -1 prt2-4-F zu (ii) Sie haben weder den Normalenvektor $\vec{n}_1$, noch den Normalenvektor $\vec{n}_2$ korrekt angegeben. Mit den von Ihnen als Normalenvektoren $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ eingegebenen Vektoren stimmt die Ebene $M$ nicht mit $E$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> 4 AlgEquiv LinIndCheck 0 1 + 0 -1 prt2-5-T zu (ii) Die von Ihnen als Normalenvektoren $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ eingegebenen Vektoren sind linear abhängig. Folglich stimmt $M$ nicht mit $G$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> - 0 1 prt2-5-F 1 ans1 TAns1 ans2 TAns2 ans3 TAns3 prt1 1.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 prt2-3-T 2 ans1 TAns1W1 ans2 TAns2W1 ans3 TAns3W1 prt1 0.0000000 prt1-2-F prt2 0.0000000 prt4-1-T 3 ans1 ans2 TAns2 ans3 TAns2W3 prt1 NULL prt2 0.5000000 prt2-3-F 4 ans1 ans2 TAns2W3 ans3 TAns3 prt1 NULL prt2 0.5000000 prt2-4-T 5 ans1 ans2 TAns2W2 ans3 TAns3W2 prt1 NULL prt2 0.0000000 prt2-4-F 6 ans1 ans2 TAns2W3 ans3 TAns3W3 prt1 NULL prt2 0.0000000 prt2-5-T Normalendarstellung Gerade Parameterdarstellung von Ebenen Seien $p_1,\,p_2,\,p_3 \in \mathbb{R}^3$ drei Punkte mit Ortsvektoren

$\displaystyle \vec{p}_1 = {@p1Vec@}$, $\displaystyle \vec{p}_2 = {@p2Vec@}$, $\displaystyle \vec{p}_3 = {@p3Vec@}$

und sei $E \subset \mathbb{R}^3$ die Ebene, die durch $p_1$, $p_2$ und $p_3$ verläuft.

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung von $E$. Geben Sie dazu die Vektoren $\vec{q}$, $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ in der Definition der Abbildung

$\displaystyle h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle (s,t) \mapsto \vec{q} +s \, \vec{v}_1 + t\,\vec{v_2}$

so an, dass $h(\mathbb{R}^2) = E$ ist.

(i) Es ist $\vec{q} = \,$ [[input:ans1]] .

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

(ii) Es ist $\vec{v}_1 = \,$ [[input:ans2]] und es ist $\vec{v}_2 = \,$ [[input:ans3]] .

[[validation:ans2]][[validation:ans3]]

[[feedback:prt2]]

]]> zu (i) & (ii) Wähle zum Beispiel $\vec{q} = \vec{p}_1$, $\vec{v}_1 = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$ und $\vec{v}_2 = \vec{p}_3 - \vec{p}_1$ , also

$\displaystyle \vec{q} = {@p1Vec@}$, $\displaystyle \vec{v}_1 = {@ v1Vec@}$, $\displaystyle \vec{v}_2 = {@ v2Vec@}$.

Die durch $h$ parametrisiert Ebene durchläuft dann die Punkte $p_1$, $p_2$ und $p_3$, denn es ist $h(0,0) = \vec{p}_1$, es ist $h(1,0) = \vec{p}_2$ und es ist $h(0,1) = \vec{p}_3$. Folglich stimmt die durch $h$ parametrisierte Ebene mit $E$ überein.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 ListComp1 : random_permutation([-6,-4,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6]); ListComp2 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); /* Definition der Punkte p1Vec, p2Vec, p3Vec und der Spannvektoren v1Vec, v2Vec */ p1Vec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); v1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); v2Vec : rand([-2,-1,1,2])*rand([matrix([-ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]),matrix([-ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]), matrix([0],[-ListComp2[3]],[ListComp2[2]])]); p2Vec : p1Vec + v1Vec; p3Vec : p1Vec + v2Vec; /* Definition des Kreuzprodukts */ VectorProduct(a,b) := matrix(a[2]*b[3]-a[3]*b[2], a[3]*b[1]-a[1]*b[3], a[1]*b[2]-a[2]*b[1]) /* Definition des Normalenvektors der durch v1Vec und v2Vec aufgespannten Ebene */ nVec : VectorProduct(v1Vec, v2Vec); nVecT : transpose(nVec); /* Antworten */ TAns1 : p1Vec; TAns2 : v1Vec; TAns3 : v2Vec; /* Falsche Antwort */ TAns1W1 : p1Vec + nVec; TAns2W1 : matrix([0],[0],[0]); TAns2W2 : nVec + v1Vec; TAns2W3 : nVec; TAns3W1 : matrix([0],[0],[0]); TAns3W2 : nVec + v2Vec; TAns3W3 : nVec; /* Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger */ ListComp1 : random_permutation([-6,-4,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6]); ListComp2 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); /* Definition der Punkte p1Vec, p2Vec, p3Vec und der Spannvektoren v1Vec, v2Vec */ p1Vec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); v1Vec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); v2Vec : rand([-2,-1,1,2])*rand([matrix([-ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]),matrix([-ListComp2[3]],[0],[ListComp2[1]]), matrix([0],[-ListComp2[3]],[ListComp2[2]])]); 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 matrix TAns1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans2 matrix TAns2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans3 matrix TAns3 5 1 0 0 0 0 0 0 0 prt1 1.0000000 1 1 TAns1 : ans1 - p1Vec; ComplCheck : nVecT.TAns1; 1 AlgEquiv ComplCheck 0 1 + 1 -1 prt1-2-T zu (i) Sie haben den Stützvektor $\vec{q}$ korrekt bestimmt und angegeben.

Ihre Antwort zu (i) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt1-2-F zu (i) Der von Ihnen für $\vec{q}$ eingegebene Vektor ist kein Stützvektor von $E$. Der zugehörige Punkt liegt nicht auf der Ebene $E$. Da $h(0,0) = \vec{q}$ ist, stimmen die von $h$ parametrisierte Ebene und $E$ nicht überein.

Ihre Antwort zu (i) ist falsch.

]]> prt2 2.0000000 1 1 NonZeroCheck : lmin([transpose(ans2).ans2, transpose(ans3).ans3]); ComplCheck1 : nVecT.ans2; ComplCheck2 : nVecT.ans3; CrossProdAns : VectorProduct(ans2,ans3); LinIndCheck : transpose(CrossProdAns).CrossProdAns; 0 AlgEquiv NonZeroCheck 0 1 + 0 -1 prt4-1-T zu (ii) Mindestens einer der von Ihnen als Spannvektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ eingegebene Vektoren ist identisch null. Folglich parametrisiert die Abbildung $h$ keine Ebene.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> + 0 4 prt4-1-F 1 AlgEquiv ComplCheck1 0 1 + 0.5 2 prt2-2-T - 0 3 prt2-2-F 2 AlgEquiv ComplCheck2 0 1 + 0.5 -1 prt2-3-T zu (ii) Sie haben die Spannvektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ korrekt bestimmt und angegeben.

Ihre Antwort zu (ii) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt2-3-F zu (ii) Sie haben den Spannvektor $\vec{v}_1$ korrekt angegeben. Mit dem von Ihnen als Spannvektor $\vec{v}_2$ eingegebenen Vektor stimmt die von $h$ parametrisierte Ebene nicht mit $E$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist teilweise richtig.

]]> 3 AlgEquiv ComplCheck2 0 1 + 0.5 -1 prt2-4-T zu (ii) Sie haben den Spannvektor $\vec{v}_2$ korrekt angegeben. Mit dem von Ihnen als Spannvektor $\vec{v}_1$ eingegebenen Vektor stimmt die von $h$ parametrisierte Ebene nicht mit $E$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist teilweise richtig.

]]> - 0 -1 prt2-4-F zu (ii) Sie haben weder den Spannvektor $\vec{v}_1$, noch den Spannvektor $\vec{v}_2$ korrekt angegeben. Mit den von Ihnen als Spannvektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ eingegebenen Vektoren stimmt die von $h$ parametrisierte Ebene nicht mit $E$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> 4 AlgEquiv LinIndCheck 0 0 + 0 -1 prt2-5-T zu (ii) Die von Ihnen als Spannvektoren $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ eingegebene Vektoren sind linear abhängig. Folglich parametrisiert die Abbildung $h$ keine Ebene.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> - 0 1 prt2-5-F 1 ans1 TAns1 ans2 TAns2 ans3 TAns3 prt1 1.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 prt2-3-T 2 ans1 TAns1W1 ans2 TAns2W1 ans3 TAns3W1 prt1 0.0000000 prt1-2-F prt2 0.0000000 prt4-1-T 3 ans1 ans2 TAns2W2 ans3 TAns3W2 prt1 NULL prt2 0.0000000 prt2-4-F 4 ans1 ans2 TAns2 ans3 TAns3W2 prt1 NULL prt2 0.5000000 prt2-3-F 5 ans1 ans2 TAns2W2 ans3 TAns3 prt1 NULL prt2 0.5000000 prt2-4-T 6 ans1 ans2 TAns2W3 ans3 TAns3W3 prt1 NULL prt2 0.0000000 prt2-5-T parameterdarstellung Ebene Parameterdarstellung von Geraden Seien $p_1,\,p_2 \in \mathbb{R}^3$ zwei Punkte mit Ortsvektoren

$\displaystyle \vec{p}_1 = {@p1Vec@}$, $\displaystyle \vec{p}_2 = {@p2Vec@}$

und sei $G \subset \mathbb{R}^3$ die Gerade, die durch $p_1$ und $p_2$ verläuft.

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung von $G$. Geben Sie dazu die Vektoren $\vec{q}$ und $\vec{v}$ in der Definition der Abbildung

$\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, $\displaystyle t \mapsto \vec{q} + t\,\vec{v}$

so an, dass $g(\mathbb{R}) = G$ ist.

(i) Es ist $\vec{q} = \,$ [[input:ans1]] .

[[validation:ans1]]

[[feedback:prt1]]

(ii) Es ist $\vec{v} = \,$ [[input:ans2]] .

[[validation:ans2]]

[[feedback:prt2]]

]]> zu (i) & (ii) Wähle zum Beispiel $\vec{q} = \vec{p}_1$ und $\vec{v} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$, also

$\displaystyle \vec{q} = {@p1Vec@}$, $\displaystyle \vec{v} = {@ vVec@}$.

Die durch $g$ parametrisiert Gerade durchläuft dann die Punkte $p_1$ und $p_2$, denn es ist $g(0) = \vec{p}_1$ und es ist $g(1) = \vec{p}_2$. Folglich stimmt die durch $g$ parametrisierte Gerade mit $G$ überein.

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 ListComp1 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); ListComp2 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); /* Definition der Punkte p1Vec, p2Vec und des Richtungsvektors vVec */ p1Vec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); vVec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); p2Vec : p1Vec + vVec; /* Definition des orthogonalen Komplementes des Richtungsvektors vVec durch Angabe zweier Vektoren vPerp1, vPerp2 */ vPerp1 : matrix([-ListComp2[2]],[ListComp2[1]],[0]); vPerp2 : matrix([0],[ListComp2[3]],[-ListComp2[2]]); vPerp1T : transpose(vPerp1); vPerp2T : transpose(vPerp2); /* Antworten */ TAns1 : p1Vec; TAns2 : vVec; /* Falsche Antwort */ TAns1W1 : p1Vec + vPerp1; TAns2W1 : matrix([0],[0],[0]); TAns2W2 : vPerp1; /* Benjamin Herbert Schulz-Rosenberger */ ListComp1 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); ListComp2 : random_permutation([-3,-2,-1,0,1,2,3]); /* Definition der Punkte p1Vec, p2Vec und des Richtungsvektors vVec */ p1Vec : matrix([ListComp1[1]],[ListComp1[2]],[ListComp1[3]]); vVec : matrix([ListComp2[1]],[ListComp2[2]],[ListComp2[3]]); p2Vec : p1Vec + vVec; 1 0 0 none 1 i cos-1 lang ( ans1 matrix TAns1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 ans2 matrix TAns2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 prt1 1.0000000 1 1 TAns1 : ans1 - p1Vec; ComplCheck : abs(vPerp1T.TAns1) + abs(vPerp2T.TAns1); 1 AlgEquiv ComplCheck 0 1 + 1 -1 prt1-2-T zu (i) Sie haben den Stützvektor $\vec{q}$ korrekt bestimmt und angegeben.

Ihre Antwort zu (i) ist richtig.

]]> + 0 -1 prt1-2-F zu (i) Der von Ihnen für $\vec{q}$ eingegebene Vektor ist kein Stützvektor von $G$. Der zugehörige Punkt liegt nicht auf der Geraden $G$. Da $g(0) = \vec{q}$ ist, stimmen die von $g$ parametrisierte Gerade und $G$ nicht überein.

Ihre Antwort zu (i) ist falsch.

]]> prt2 1.0000000 1 1 NonZeroCheck : transpose(ans2).ans2; ComplCheck : abs(vPerp1T.ans2) + abs(vPerp2T.ans2); 0 AlgEquiv NonZeroCheck 0 1 + 0 -1 prt4-1-T zu (ii) Der von Ihnen als Richtungsvektor $\vec{v}$ eingegebene Vektor ist identisch null. Folglich ist die Abbildung $g$ konstant gleich $\vec{q}$ und parametrisiert somit keine Gerade.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.

]]> + 0 1 prt4-1-F 1 AlgEquiv ComplCheck 0 1 + 1 -1 prt2-2-T zu (ii) Sie haben den Richtungsvektor $\vec{v}$ korrekt bestimmt und angegeben.

Ihre Antwort zu (ii) ist richtig.

]]> - 0 -1 prt2-2-F zu (ii) Mit dem von Ihnen als Richtungsvektor $\vec{v}$ eingegebene Vektor parametrisiert die Abbildung $g$ zwar eine Gerade, jedoch stimmt diese Gerade nicht mit $G$ überein.

Ihre Antwort zu (ii) ist falsch.