$course$/top/Grundbegriffe $course$/top/Grundbegriffe/Rechenregeln $course$/top/Grundbegriffe/Rechenregeln/Partialbruchzerlegung Partialbruchzerlegung (1)

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion

$ \displaystyle \displaystyle R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~ x\mapsto \frac{{@factor@}}{{@denominatorExp@}}. $

(a) Zerlegen Sie $\displaystyle R(x) $ in Partialbrüche. Geben Sie den Ansatz an und drücken Sie die unbekannten Koeffizienten durch Großbuchstaben $\displaystyle A,\, B,\, C,\, \ldots $ aus:

$\displaystyle R(x) = $ [[input:ans1]]. [[validation:ans1]] [[feedback:prt1]]

(b) Berechnen Sie nun alle unbekannten Parameter. Geben Sie diese in Form einer Liste an, d.h. [A=1,B=2,C=3,...]. Verwenden Sie keine Dezimalzahlen.

Die Liste lautet [[input:ans2]]. [[validation:ans2]] [[feedback:prt2]]

]]> zu (a) Der Nenner der (echt) gebrochen rationalen Funktion $\displaystyle R(x)$ kann in Linearfaktoren aufgespaltet werden:

$ \displaystyle {@denominatorExp@}={@(make_multsgn("blank"),denominator)@}. $

Der Ansatz für die Partialbrüche lautet somit

$ \displaystyle \cfrac{{@factor@}}{{@denominatorExp@}} = {@PB1@} + {@PB2@}. \quad (\star) $

zu (b) Die unbekannten Koeffizienten können nun folgendermaßen berechnen werden. Hierbei wird Gleichung $ \displaystyle (\star) $ zuerst mit dem Linearfaktor $\displaystyle ({@denominator1@}) $ multipliziert und nach Koeffizient $\displaystyle A $ umgeformt:

$ \displaystyle \begin{align*} A &= \cfrac{{@factor@}}{{@denominatorExp@}}~ ({@denominator1@}) - {@PB2@}~ ({@denominator1@}) \\[1em] &= \frac{{@factor@}}{{@denominator2@}} - {@PB2@}~ ({@denominator1@}) ~ \rightarrow ~ \text{NS einsetzen:} ~ x = {@root1@} \end{align*} $

$ \displaystyle \Rightarrow~ A = {@rhs(PBZcoeff[1])@}. $

Anschließend wird die Gleichung $(\star)$ nach $\displaystyle B $ umgeformt und mit dem Linearfaktor $\displaystyle({@denominator2@})$ multipliziert:

$ \displaystyle \begin{align*} B &= \cfrac{{@factor@}}{{@denominatorExp@}}~ ({@denominator2@}) - \frac{A}{{@denominator1@}}~ ({@denominator2@}) \\[1em] &= \frac{{@factor@}}{{@denominator1@}} - \frac{A}{{@denominator1@}}~ ({@denominator2@}) ~ \rightarrow ~ \text{NS einsetzen:} ~ x = {@root2@} \end{align*} $

$ \displaystyle \Rightarrow~ B = {@rhs(PBZcoeff[2])@}. $

Die Partialbruchzerlegung der Funktion $\displaystyle R(x) $ lautet somit:

$ \displaystyle R(x) = \cfrac{{@factor@}}{{@denominatorExp@}} = {@TAns22@}. $

]]> 1 SubstEquiv ans1 TAns1 [x] 1 + 1 -1 prt1-2-T zu (a) Ansatz ist richtig.

]]> - 0 -1 prt1-2-F zu (a) Der Ansatz reproduziert nicht den Nenner der Funktion $\displaystyle R(x) $, d.h.

$\displaystyle {@ans1_ratsimp_denominator@} \neq {@denominatorExp@}. $

]]> prt2 1.0000000 1 1 Sans_pratiodecomp_subst: at(ans1, ans2); 0 SubstEquiv ans1 TAns1 1 = 0 1 prt2-1-T = 0 -1 prt2-1-F zu (b) Die berechneten Koeffizienten sind aufgrund der falschen Zerlegung in Aufgabenteil (a) falsch.

]]> 1 AlgEquiv Sans_pratiodecomp_subst TAns22 1 + 1 -1 prt2-2-T zu (b) Die berechneten Koeffizienten sind richtig.

]]> - 0 -1 prt2-2-F zu (b) Mindestens einer der berechneten Koeffizienten ist falsch.

]]> 1 ans1 TAns1 ans2 TAns21 prt1 1.0000000 0.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 0.0000000 prt2-2-T 2 ans1 A ans2 42 prt1 0.0000000 0.0000000 prt1-1-F prt2 0.0000000 0.0000000 prt2-1-F 3 ans1 TAns1 ans2 [A = 42,B = 42] prt1 1.0000000 0.0000000 prt1-2-T prt2 0.0000000 0.0000000 prt2-2-F Partialbruchzerlegung PBZ Partialbruchzerlegung (2)

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion

$ \displaystyle R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~ x\mapsto \frac{{@numerator@}}{{@(make_multsgn("blank"),denominator_exp)@}}. $

(a) Zerlegen Sie $\displaystyle R(x) $ in reelle Partialbrüche. Geben Sie den Ansatz an und drücken Sie die unbekannten Koeffizienten durch Großbuchstaben $\displaystyle A,\, B,\, C,\, \ldots $ aus:

$\displaystyle R(x) = $ [[input:ans1]]. [[validation:ans1]] [[feedback:prt1]]

(b) Berechnen Sie nun alle unbekannten Parameter. Geben Sie diese in Form einer Liste an, d.h. [A=1,B=2,C=3,...]. Verwenden Sie keine Dezimalzahlen.

Die Liste lautet [[input:ans2]]. [[validation:ans2]] [[feedback:prt2]]

]]> zu (a) Der Nenner der (echt) gebrochen rationalen Funktion $\displaystyle R(x) $ kann folgendermaßen aufgespaltet werden:

$ \displaystyle {@(make_multsgn("blank"),denominator_exp)@}={@(make_multsgn("blank"),denominator)@}. $

Der Ansatz für die Partialbrüche lautet somit

$ \displaystyle \begin{align*} & R(x)=\cfrac{{@numerator@}}{{@denominator_exp@}} = {@pratiodecomp@} \quad (\star) \\[1em] &\big[ \text{quadr. Term}~ ({@denominator2@})~ \text{kann im Reellen nicht weiter zerlegt werden} \big]. \end{align*} $

zu (b) Es existieren unterschiedliche Methoden die unbekannten Koeffizienten zu berechnen. Hier wird nur eine Methode gezeigt.

Gleichung $ \displaystyle (\star) $ wird zuerst mit dem Linearfaktor $\displaystyle ({@denominator1@}) $ multipliziert und nach Koeffizienten $\displaystyle A $ umgeformt:

$ \displaystyle \begin{align*} A &= \cfrac{{@numerator@}}{{@denominator@}}~ ({@denominator1@}) - {@pratio2@}~ ({@denominator1@}) \\[1em] &= \cfrac{{@numerator@}}{{@denominator2@}} - {@pratio2@}~ ({@denominator1@})~ \rightarrow ~ \text{NS einsetzen:} ~ x = {@root1@} \end{align*} $

$ \displaystyle \Rightarrow~ A = {@rhs(pratiodecomp_coeff[1])@}. $

Anschließend wird der Koeffizient $\displaystyle A $ in Gleichung $\displaystyle (\star) $ eingesetzt und die Gleichung durch das Abspalten des Linearfaktors $\displaystyle({@denominator1@})$ vereinfacht:

$ \displaystyle \begin{align*} \cfrac{{@numerator@}}{({@denominator1@})~({@denominator2@})} - \left( {@pratio1_subst@} \right) &= {@pratio2@} \\[1em] {@term_simp@} &= {@pratio2@} \end{align*} $

$ \displaystyle \Rightarrow~ B = {@rhs(pratiodecomp_coeff[2])@} \quad \text{und} \quad C = {@rhs(pratiodecomp_coeff[3])@} \quad \text{(durch Koeffizientenvergleich)}. $

Die Partialbruchzerlegung der Funktion $\displaystyle R(x) $ lautet somit:

$ \displaystyle R(x) =\cfrac{{@numerator@}}{{@denominator_exp@}} = {@pratiodecomp_subst@}. $

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 nach einer Idee von Michael Kubocz an der RWTH Aachen. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Um eine Kopie der Lizenz zu erhalten, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. SPDX-License-Identifier: CC-BY-SA-4.0 */ /* ------------------------------------- */ /* ------------------------------------- */ /* ------------------------------------- */ /*--- Definition der rationalen Funktion ---*/ root1: -1; monomial_x0: 2*rand_with_prohib(-3,3,[0,root1]); /*--- Berechnung der Partialbrüche ---*/ coeff_list: [A,B,C]; numerator: x^2 + x + monomial_x0; denominator1: x - root1; denominator2: x^2 + 1; denominator: denominator1 * denominator2; denominator_exp: expand(denominator); pratio1: coeff_list[1] / denominator1; pratio2: (coeff_list[2] + coeff_list[3]*x)/ denominator2; pratiodecomp: pratio1 + pratio2; pratiodecomp_exp: ratsimp(pratiodecomp); pratiodecomp_exp_numerator: num(pratiodecomp_exp)-coeff(num(pratiodecomp_exp), x, 0) ; monomial_x0_list: makelist(coeff(num(pratiodecomp_exp), x, 0)); monomials_list_nox0: maplist (lambda ([monomial ], monomial), pratiodecomp_exp_numerator); monomials_list: append(monomials_list_nox0, monomial_x0_list); equations_list: map(lambda ([monomial], coeff(monomial, x, hipow(monomial, x)) = coeff(numerator, x, hipow(monomial, x))), monomials_list); equations_list_solutions: solve(equations_list, [coeff_list[1], coeff_list[2], coeff_list[3]]); pratiodecomp_coeff: first(equations_list_solutions); pratiodecomp_subst: rhs(pratiodecomp_coeff[1]) / denominator1 + (rhs(pratiodecomp_coeff[2]) + rhs(pratiodecomp_coeff[3]) * x ) / denominator2; /*--- weitere Umformungen ---*/ pratio1_subst: at(pratio1,pratiodecomp_coeff[1]); term_simp: ratsimp(numerator/denominator - rhs(pratiodecomp_coeff[1]) / denominator1); pratiodecomp_subst: at(pratio1 + pratio2, pratiodecomp_coeff); /*--- MLsgn ---*/ TAns1: pratiodecomp; TAns21: pratiodecomp_coeff; TAns22: pratiodecomp_subst;]]> root1 = {@root1@}; monomial_x0 = {@monomial_x0@}; TAns1 = {@TAns1@}; TAns21 = {@TAns21@}; TAns22 = {@TAns22@}; 1 0 0 dot 1 i cos-1 lang [ ans1 algebraic TAns1 30 1 0 0 partfrac 1 0 0 1 3 allowempty ans2 algebraic TAns21 15 1 0 0 partfrac 1 0 0 1 3 allowempty prt1 1.0000000 1 1 ans1_coeff_no: length(listofvars(ans1))-1; 0 AlgEquiv ans1_coeff_no 3 1 = 0 1 prt1-1-T = 0 -1 prt1-1-F zu (a) Die Anzahl der unbekannten Koeffizienten ist falsch.

]]> 1 SubstEquiv ans1 TAns1 [x] 1 = 1 -1 prt1-2-T zu (a) Ansatz ist richtig.

]]> - 0 -1 prt1-2-F zu (a) Ansatz ist falsch.

]]> 1 AlgEquiv Sans_pratiodecomp_subst TAns22 1 + 1 -1 prt2-2-T zu (b) Die berechneten Koeffizienten sind richtig.

]]> - 0 -1 prt2-2-F zu (b) Mindestens einer der berechneten Koeffizienten ist falsch.

]]> 1 ans1 TAns1 ans2 TAns21 prt1 1.0000000 0.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 0.0000000 prt2-2-T 2 ans1 (C*x+B)/(x^2+5)+A/(x+6) ans2 [A = 42,B = 42,C = 42] prt1 0.0000000 0.0000000 prt1-2-F prt2 0.0000000 0.0000000 prt2-1-F 3 ans1 TAns1 ans2 [A = 2,B = 2,C = 1]; prt1 1.0000000 0.0000000 prt1-2-T prt2 0.0000000 0.0000000 prt2-2-F 4 ans1 (B*x)/(x^2+1)+A/(x+1); ans2 [A = 1,B = 1]; prt1 0.0000000 0.0000000 prt1-1-F prt2 0.0000000 0.0000000 prt2-1-F Partialbruchzerlegung PBZ Partialbruchzerlegung (3)

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion

$ \displaystyle R: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},~ x\mapsto \frac{{@numerator@}}{{@(make_multsgn("blank"),denominator_exp)@}}. $

$\displaystyle R(x) = $ [[input:ans1]]. [[validation:ans1]] [[feedback:prt1]]

(b) Berechnen Sie nun alle unbekannten Parameter. Geben Sie diese in Form einer Liste an, d.h. [A=1,B=2,C=3,...]. Verwenden Sie keine Dezimalzahlen.

Die Liste lautet [[input:ans2]]. [[validation:ans2]] [[feedback:prt2]]

]]> zu (a) Der Nenner der (echt) gebrochen rationalen Funktion $displaystyle R(x) $ kann folgendermaßen aufgespaltet werden:

$ \displaystyle {@(make_multsgn("blank"),denominator_exp)@}={@(make_multsgn("blank"),denominator)@}. $

Der Ansatz für die Partialbrüche lautet somit

$ \displaystyle \begin{align*} & R(x)=\cfrac{{@numerator@}}{{@denominator_exp@}} = {@pratiodecomp@} \quad (\star) \\[1em] &\big[ \text{quadr. Term}~ ({@denominator3@})~ \text{kann im Reellen nicht weiter zerlegt werden} \big]. \end{align*} $

zu (b) Es existieren unterschiedliche Methoden die unbekannten Koeffizienten zu berechnen. Hier wird nur eine Methode gezeigt.

Gleichung $ \displaystyle (\star) $ wird zuerst mit dem quadrierten Linearfaktor $\displaystyle {@denominator2@} $ multipliziert und nach Koeffizienten $\displaystyle B $ umgeformt:

$ \displaystyle \begin{align*} B &= \cfrac{{@numerator@}}{{@denominator@}}~ {@denominator2@} - {@pratio1@}~ {@denominator2@} \\[1em] & -{@pratio3@}~ {@denominator2@} \rightarrow ~ \text{NS einsetzen:} ~ x = {@root1@}. \end{align*} $

$ \displaystyle \Rightarrow~ B = {@rhs(pratiodecomp_coeff[2])@}. $

Anschließend wird der Koeffizient $\displaystyle B $ in Gleichung $\displaystyle (\star) $ eingesetzt und die Gleichung durch das Abspalten von des Linearfaktors $\displaystyle ({@denominator1@}) $ vereinfacht:

$ \displaystyle \begin{align*} \cfrac{{@numerator@}}{{@denominator@}} - \left( {@pratio2_subst@} \right) &= {@pratio1@} + {@pratio3@} \\[1em] \cfrac{{@term_simp1@}}{({@denominator1@})~({@denominator3@})} &= {@pratio1@} + {@pratio3@} \quad (\star \star) \end{align*} $

Nun wird Gleichung $ \displaystyle (\star \star) $ mit dem Linearfaktor $\displaystyle ({@denominator1@}) $ multipliziert und nach Koeffizienten $\displaystyle A $ umgeformt:

$ \displaystyle \begin{align*} A &= \cfrac{{@term_simp1@}}{({@denominator1@})~({@denominator3@})}~ ({@denominator1@}) - {@pratio3@}~ ({@denominator1@}) \rightarrow ~ \text{NS einsetzen:} ~ x = {@root1@}. \end{align*} $

$ \displaystyle \Rightarrow~ A = {@rhs(pratiodecomp_coeff[1])@}. $

Im letzten Schritt wird der Koeffizient $\displaystyle A $ in Gleichung $\displaystyle (\star \star) $ eingesetzt und die Gleichung durch das Abspalten des Linearfaktors $\displaystyle({@denominator1@})$ vereinfacht:

$ \displaystyle \begin{align*} \cfrac{{@term_simp1@}}{({@denominator1@})~({@denominator3@})} - \left( {@pratio1_subst@} \right) &= {@pratio3@} \\[1em] {@term_simp2@} &= {@pratio3@} \end{align*} $

$ \displaystyle \Rightarrow~ C = {@rhs(pratiodecomp_coeff[3])@} \quad \text{und} \quad D = {@rhs(pratiodecomp_coeff[4])@} \quad \text{(durch Koeffizientenvergleich)}. $

Die Partialbruchzerlegung der Funktion $\displaystyle R(x) $ lautet somit:

$ \displaystyle R(x) =\cfrac{{@numerator@}}{{@denominator_exp@}} = {@pratiodecomp_subst@}. $

]]> 1.0000000 0.0000000 0 2023010400 nach einer Idee von Michael Kubocz an der RWTH Aachen. Dieses Werk ist lizenziert unter einer Creative Commons Namensnennung-Weitergabe unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Um eine Kopie der Lizenz zu erhalten, besuchen Sie http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/. SPDX-License-Identifier: CC-BY-SA-4.0 */ /* ------------------------------------- */ /* ------------------------------------- */ /* ------------------------------------- */ /*--- Definition der rationalen Funktion ---*/ root1: rand_with_prohib(-3,3,[0]); numerator: rand_with_prohib(-3,3,[0,root1]); monomial_x0: rand_with_prohib(1,6,[0,root1,numerator]); /*--- Berechnung der Partialbrüche ---*/ coeff_list: [A,B,C,D]; denominator1: x - root1; denominator2: denominator1^2; denominator3: x^2 + monomial_x0; denominator: denominator2 * denominator3; denominator_exp: expand(denominator); pratio1: coeff_list[1] / denominator1; pratio2: coeff_list[2] / denominator2; pratio3: (coeff_list[3] + coeff_list[4]*x)/ denominator3; pratiodecomp: pratio1 + pratio2 + pratio3; pratiodecomp_exp: ratsimp(pratiodecomp); pratiodecomp_exp_numerator: num(pratiodecomp_exp)-coeff(num(pratiodecomp_exp), x, 0) ; monomial_x0_list: makelist(coeff(num(pratiodecomp_exp), x, 0)); monomials_list_nox0: maplist (lambda ([monomial ], monomial), pratiodecomp_exp_numerator); monomials_list: append(monomials_list_nox0, monomial_x0_list); equations_list: map(lambda ([monomial], coeff(monomial, x, hipow(monomial, x)) = coeff(numerator, x, hipow(monomial, x))), monomials_list); equations_list_solutions: solve(equations_list, [coeff_list[1], coeff_list[2], coeff_list[3], coeff_list[4]]); pratiodecomp_coeff: first(equations_list_solutions); pratiodecomp_subst: rhs(pratiodecomp_coeff[1]) / denominator1 + rhs(pratiodecomp_coeff[2]) / denominator2 + (rhs(pratiodecomp_coeff[3]) + rhs(pratiodecomp_coeff[4]) * x ) / denominator3; /*--- weitere Umformungen ---*/ pratio1_subst: at(pratio1,pratiodecomp_coeff[1]); pratio2_subst: at(pratio2,pratiodecomp_coeff[2]); term_simp1_aux: ratsimp(numerator/denominator - pratio2_subst); term_simp1: ratsimp(term_simp1_aux*denominator1*denominator3); term_simp2: ratsimp(term_simp1_aux - pratio1_subst); /*--- MLsgn ---*/ TAns1: pratiodecomp; TAns21: pratiodecomp_coeff; TAns22: pratiodecomp_subst;]]> root1 = {@root1@}; numerator = {@numerator@}; monomial_x0 = {@monomial_x0@}; TAns1 = {@TAns1@}; TAns21 = {@TAns21@}; TAns22 = {@TAns22@}; 1 0 0 dot 1 i cos-1 lang [ ans1 algebraic TAns1 30 1 0 0 partfrac 1 0 0 1 3 allowempty ans2 algebraic TAns21 25 1 0 0 partfrac 1 0 0 1 3 allowempty prt1 1.0000000 1 1 ans1_coeff_no: length(listofvars(ans1))-1; 0 AlgEquiv ans1_coeff_no 4 1 = 0 1 prt1-1-T = 0 -1 prt1-1-F zu (a) Die Anzahl der unbekannten Koeffizienten ist falsch.

]]> 1 SubstEquiv ans1 TAns1 [x] 1 + 1 -1 prt1-2-T zu (a) Ansatz ist richtig.

]]> - 0 -1 prt1-2-F zu (a) Ansatz ist falsch.

]]> 1 AlgEquiv Sans_pratiodecomp_subst TAns22 1 + 1 -1 prt2-2-T zu (b) Die berechneten Koeffizienten sind richtig.

]]> - 0 -1 prt2-2-F zu (b) Mindestens einer der berechneten Koeffizienten ist falsch.

]]> 1 ans1 TAns1 ans2 TAns21 prt1 1.0000000 0.0000000 prt1-2-T prt2 1.0000000 0.0000000 prt2-2-T 2 ans1 TAns1 ans2 [A=1,B =2,C =3,D=4] prt1 1.0000000 0.0000000 prt1-2-T prt2 0.0000000 0.0000000 prt2-2-F Partialbruchzerlegung PBZ