Zufallsexperiment „Würfeln“

In dieser interaktiven Anwendung betrachten wir eines der wohl bekanntesten Zufallsexperimente: Das Würfeln mit einem fairen sechsseitigen Würfel.

Wir betrachten dabei eine Zufallsvariable \(X\), die wir als die gewürfelte Augenzahl beim einmaligen Werfen des fairen sechsseitigen Würfels definieren. Bei diesem Zufallsexperiment kann der Ergebnisraum als \( \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}\) definiert werden, wobei \(\omega\in\Omega\) die gewürfelte Augenzahl beschreibt.

Wenn wir das Zufallsexperiment mehrfach durchführen, entsteht ein Datensatz, der die Ergebnisse der Durchführungen enthält. An diesem Beispiel lernen Sie in drei verschiedenen Abschnitten verschiedene Darstellungs- bzw. Visualisierungsformen kennen.

Säulendiagramm vs. Histogramm

Das Säulendiagramm und das (normierte) Histogramm sind zwei gängige Möglichkeiten, einen Datensatz darzustellen.
In einem Histogramm werden die Daten üblicherweise in Klassen eingeteilt. Dann wird für jede Klasse eine Säule gezeichnet, deren Höhe jeweils der Anzahl der aufgetretenen Realisierungen pro Klasse entspricht. Häufig wird diese Anzahl noch normiert, das heißt durch die Gesamtzahl der Durchführungen des Zufallsexperiments geteilt. In unserem konkreten Fall wurde keine Klasseneinteilung vorgenommen, da es nur sechs mögliche Versuchsausgänge gibt.

Aufgabe: Betätigen Sie nun den Würfel-Button und beobachten Sie, wie sich das Säulendiagramm und das normierte Histogramm von Wurf zu Wurf verändern. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es nach 5 Würfen? Welche nach 20 und 50 Würfen?

Eine mögliche Lösung lautet wie folgt:

  • Relativ zu einander sind die Säulen in beiden Diagrammen immer gleich hoch. Das kommt daher, dass das Histogramm durch Normierung aus dem Säulendiagramm hervorgeht.
  • Nach den ersten Würfen sind die Höhen der Säulen in beiden Diagrammen ähnlich.
  • Da es sich beim Histogramm um relative und beim Säulendiagramm um absolute Werte handelt, werden die Säulen des Säulendiagramms immer höher, während sie beim Histogramm je nach aktueller Augenzahl auch niedriger werden können.
  • Aus diesem Grund entsteht auch der folgende Sachverhalt: Wenn man alle Säulen übereinanderstapelt, entspricht die Gesamthöhe beim Säulendiagramm der Anzahl der bisherigen Würfe. Beim Histogramm ist sie konstant 1.

Bitte klicken Sie auf den folgenden Button, um zu würfeln:

Ergebnis:


- Sie haben noch nicht gewürfelt -

Häufigkeitstabelle:

Ergebnis  ⚀   ⚁   ⚂   ⚃   ⚄   ⚅ 
absolute Häufigkeit 0 0 0 0 0 0
relative Häufigkeit 0 0 0 0 0 0
Anzahl Würfe 0
arithm. Mittel -

Säulendiagramm:

Normiertes Histogramm:

Empirische Verteilungsfunktion vs. Histogramm

Eine Darstellung, bei der wie beim normierten Histogramm relative Häufigkeiten graphisch abgebildet sind, ist die empirische Verteilungsfunktion. Hier wird die relative Häufigkeit der Ergebnisse, die kleiner als eine gewählte Zahl \(x\) ist, gezählt. Die Zahl \(x\) wird dabei auf der horizontalen und die zugehörige relative Häufigkeit auf der vertikalen Achse eingetragen.

Aufgabe: Bitte vergleichen Sie das Histogramm und die empirische Verteilungsfunktion (z. B. im Hinblick darauf, wie sich die beiden Darstellungsformen verändern, wenn Sie würfeln). Bei welcher Darstellung gibt es einen größeren Informationsverlust?

Eine mögliche Lösung lautet wie folgt:

  • Der Wert der empirischen Verteilungsfunktion an einer Stelle \(x\in\mathbb{R}\) entspricht dem relativen Anteil derjenigen Würfe, bei denen eine Zahl gewürfelt wurde, die kleiner oder gleich \(x\) ist. Stapelt man alle Säulen links von \(x\) übereinander, entspricht die Gesamthöhe dieser Säulen gerade dieser Zahl.
  • Während sich die Höhen der Säulen des Histogramms mit zunehmender Anzahl an Würfen annähern, liegen die Sprungstellen der empirischen Verteilungsfunktion immer mehr auf einer Geraden mit der Gleichung \(y=x/6\). Im Limes ist dies die Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung auf der Menge \(\{1,\ldots,6\}\).
  • Da die Daten in diesem Fall mit den möglichen Ergebnissen übereinstimmen, gibt es weder beim Histogramm noch bei der empirischen Verteilungsfunktion einen Informationsverlust. Allgemein, insbesondere bei stetigen Daten, ist der Informationsverlust bei der empirischen Verteilungsfunktion geringer, denn dort ist jeder Wert des Datensatzes sichtbar. Beim Histogramm erfolgt hingegen eine Einteilung in Klassen, das heißt es kann nichts mehr über einzelne Datenpunkte innerhalb der Klassen ausgesagt werden.

Bitte klicken Sie auf den folgenden Button, um zu würfeln:

Ergebnis:


- Sie haben noch nicht gewürfelt -

Häufigkeitstabelle:

Ergebnis  ⚀   ⚁   ⚂   ⚃   ⚄   ⚅ 
absolute Häufigkeit 0 0 0 0 0 0
relative Häufigkeit 0 0 0 0 0 0
Anzahl Würfe 0
arithm. Mittel -

Empirische Verteilungsfunktion:

Normiertes Histogramm:

Das arithmetische Mittel

Neben den Darstellungen der absoluten und relativen Häufigkeiten können wir auch betrachten, was denn das arithmetische Mittel aus allen bisher gewürfelten Augenzahlen ist. In dieser Abbildung ist auf der horizontalen die Anzahl der Durchführungen des Zufallsexperiments \(k\) ablesbar. Auf der verikalen Achse ist das entsprechende arithmetische Mittel der Würfe der ersten \(k\) Durchführungen abgetragen.

Aufgaben:

  1. Überlegen Sie vor dem Würfeln, wie sich das arithmetische Mittel wahrscheinlich entwickelt. Würfeln Sie dann und überprüfen Sie Ihre Vermutungen.

  2. Werfen Sie den Würfel viermal. Können Sie nur anhand der Informationen, die nun in der Tabelle und der Grafik zu sehen sind, die Augenzahl des Würfels in den einzelnen Versuchen herausfinden?

Eine mögliche Lösung lautet wie folgt:

  • zu 1.: Zu Beginn stimmt das arithmetische Mittel mit der anfänglich gewürfelten Augenzahl überein. Dann nähert es sich tendenziell dem Erwartungswert der Zufallsvariablen, also \( \text{E}(X)=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}\,k = \frac{7}{2}=3.5\) an (Gesetz der großen Zahlen). Die Annäherung an den Erwartungswert kann unterschiedlich schnell geschehen – das hängt vom Zufall ab. Zudem ist sie nicht monoton.
  • zu 2.: Da das arithmetische Mittel nach dem ersten Wurf mit der dort gewürfelten Augenzahl übereinstimmt (siehe 1.), können Sie aufgrund der Grafik einen direkten Schluss darauf ziehen, was im ersten Wurf gewürfelt wurde.
    Da Sie in der Grafik ablesen können, was das arithmetische Mittel nach dem zweiten Versuch war, können Sie berechnen, was im zweiten Wurf gewürfelt wurde, denn für das arithmetische Mittel nach dem zweiten Wurf gilt \( \frac{z_1+z_2}{2}=\mu_2 \Leftrightarrow z_2=2\mu_2-z_1\) (wobei \(z_i\) die Augenzahl beim \(i\)-ten Wurf und \(\mu_j \) das arithmetische Mittel nach dem \(j\)-ten Wurf beschreibt).
    Nach diesem Schema können Sie weiter verfahren und so anhand der in der Grafik gegebenen Informationen für jeden bisherigen Würfelwurf berechenen, welche Augenzahl dort heraus kam.

Bitte klicken Sie auf den folgenden Button, um zu würfeln:

Ergebnis:


- Sie haben noch nicht gewürfelt -

Häufigkeitstabelle:

Ergebnis  ⚀   ⚁   ⚂   ⚃   ⚄   ⚅ 
absolute Häufigkeit 0 0 0 0 0 0
relative Häufigkeit 0 0 0 0 0 0
Anzahl Würfe 0
arithm. Mittel -

Arithmetisches Mittel nach \(k\) Würfen: