Hallo und herzlich willkommen zum Lernvideo über den zentralen Grenzwertsatz.
In diesem Video lernen wir anhand des Galtonbretts eine grundlegende Gesetzmäßigkeit des Zufalls kennen,
den sogenannten zentralen Grenzwertsatz.
Wir modellieren das beim Galtonbrett beobachtete Zufallsphänomen stochastisch
und untersuchen dieses dann auf grafische Art und Weise.
Davon ausgehend verstehen wir die mathematische Formulierung des zentralen Grenzwertsatzes.
[Musik]
Der zentrale Grenzwertsatz wird durch das Galtonbrett veranschaulicht.
Auf dem Galtonbrett sind n Reihen mit Hindernissen angebracht, die eine darauf fallende Kugel
mit Wahrscheinlichkeit p nach rechts oder mit Wahrscheinlichkeit 1-p nach links ablenken.
Auf dem hier gezeichneten Brett gibt es n gleich 10 Reihen und die Kugel kann mit gleicher
Wahrscheinlichkeit nach rechts oder links fallen, was gerade p gleich 0,5 entspricht.
Nachdem die Kugel von einem Hindernis abgelenkt wurde, fällt sie in der darunterliegenden
Reihe auf ein weiteres Hindernis und wird erneut mit Wahrscheinlichkeit p nach rechts
oder mit Wahrscheinlichkeit 1-p nach links abgelenkt.
Nach dem Hindernis in der letzten Reihe fällt die Kugel in eines von n plus 1 Fächern.
Die Anzahl der Kugeln in jedem Fach wird gezählt und daraus ein Histogramm relativer Häufigkeiten erstellt.
Lassen wir nun eine Kugel nach der anderen auf das erste Hindernis fallen und beobachten
das sich unten aufbauende Histogramm.
[Musik]
Je mehr Kugeln das Galtonbrett durchlaufen, desto deutlicher sehen wir, dass die mittleren
Fächer am häufigsten getroffen werden und das Histogramm eine annähernd symmetrische Form annimmt.
Wir kippen nun das Goldenbrett und wiederholen das Zufallsexperiment.
Die Rotation gegen den Uhrzeigersinn bewirkt eine Verkleinerung des Wertes von p,
da die Kugel nun tendenziell nach links fallen wird.
Konkret sei jetzt p gleich 0,4. Wird sich erneut ein ähnliches Bild ergeben?
Lassen wir wieder einige Kugeln das Galtonbrett durchlaufen.
[Musik]
Wir erkennen, dass jetzt das Fach links der Mitte am häufigsten getroffen wird und sich
ein um dieses Fach annähernd symmetrisches Histogramm ähnlicher Gestalt wie zuvor herausbildet.
Gibt es für diese Beobachtungen eine mathematische Erklärung?
[Musik]
Tatsächlich verbirgt sich hinter unserem Experiment ein universelles Gesetz des Zufalls.
Um dieses mathematisch präzise zu formulieren,
übertragen wir die Geschehnisse auf dem Galtonbrett in ein stochastisches Modell.
Dass die Kugel beim Aufprall auf ein Hindernis zufällig nach rechts oder links abgelenkt wird,
ist ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen, also ein Bernoulli-Experiment.
Wenn wir eine Ablenkung nach rechts als Erfolg kodieren, wird die Ablenkungsrichtung am i-ten Hindernis
durch eine Zufallsvariable Y i beschrieben, die eine Bernoulli-Verteilung mit Parameter p besitzt.
Y i gleich 0 bedeutet eine Ablenkung nach links und Y i gleich 1 bedeutet eine Ablenkung nach rechts.
Wir lassen die Kugeln nun die Reihen des Galtonbretts durchlaufen
und notieren dabei zusätzlich die Summe S n der Zufallsvariablen Y i.
Durchläuft die Kugel die n Reihen des Galtonbretts, wird das Bernoulli-Experiment n-mal unabhängig wiederholt,
da die Kugel in jeder Reihe auf genau ein Hindernis trifft.
In welches Fach die Kugel schließlich fällt, wird durch die zufällige Anzahl der einzelnen
Ablenkungen nach rechts festgelegt, also durch den Wert der Summenvariablen S n.
Sie besitzt eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p.
Das Histogramm relativer Häufigkeiten, welches wir beim letzten Zufallsexperiment mit dem Galtonbrett erhalten haben,
ist somit eine gute Annäherung an die Zähldichte der Binomialverteilung
mit den Parametern n gleich 10 und p gleich 0,4.
Je mehr Kugeln wir durchlaufen lassen, desto genauer wird diese Annäherung.
Gehen wir vom Histogramm zur exakt berechneten Zähldichte der Binomialverteilung über,
sehen wir in der Tat nur minimale Veränderungen in den Balkenhöhen.
Der zentrale Grenzwertsatz beschäftigt sich nun mit der Frage, was passiert,
wenn der Parameter n gegen unendlich geht,
wenn also die Anzahl der Reihen auf dem Galtonbrett immer größer wird.
Wird dann ein klar definierter Grenzwert der Zähldichte erkennbar?
Eine Erhöhung auf n gleich 100 zeigt, dass sich kein Grenzwert einstellt.
Die Verteilung wird lediglich flacher
und die Wahrscheinlichkeitsmasse verschiebt sich immer weiter nach rechts.
Der Erwartungswert liegt nun bei n mal p gleich 40 und wird sich nur vergrößern,
wenn wir n noch weiter erhöhen.
Wir versuchen dem Abdriften des Erwartungswerts entgegenzuwirken,
indem wir die Verteilung zunächst zentrieren.
Wir betrachten also die Summenvariable S n minus ihrem Erwartungswert
und zeichnen deren Zähldichte.
Erneut erhöhen wir auf n gleich 100.
Die Zähldichte bleibt nun wie erwartet um den Nullpunkt zentriert.
Jedoch ergibt sich immer noch kein Grenzwert, da die Verteilung gleichzeitig flacher und
breiter wird, also umso stärker streut, je größer der Wert von n ist.
Das liegt daran, dass auch die Standardabweichung von S n monoton wachsend in n ist und sich
nur vergrößern wird, wenn wir n noch weiter erhöhen.
Wir rechnen auch diesen Effekt heraus, indem wir die zentrierte Summenvariable mit dem
Kehrwert der Standardabweichung reskalieren.
Es ergibt sich die sogenannte standardisierte Summenvariable, die wir mit S n Stern bezeichnen.
Noch einmal erhöhen wir auf n gleich 100.
Die breitere Streuung der Zähldichte ist verschwunden, jedoch wird sie immer noch flacher,
je größer der Wert von n wird.
Gleichzeitig stellen wir fest, dass sich die Breite der Intervalle reduziert, sodass der
summierte Flächeninhalt über alle Rechtecke nicht mehr 1 ergibt.
Dieser Effekt lässt sich abschließend korrigieren, indem wir die Zähldichte so reskalieren,
dass der Flächeninhalt 1 bleibt.
Es stellt sich heraus, dass wir dazu die Zähldichte von S n Stern mit der Standardabweichung von
S n multiplizieren müssen.
Jetzt bleibt die Zähldichte um den Nullpunkt zentriert, die Streuung bleibt konstant
und es stellt sich ein Grenzwert ein.
Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt mathematisch genau, wie dieser aussieht.
Im Grenzwert für n gegen unendlich ergibt sich die Standardnormalverteilung.
Deren Dichtefunktion ist hier in rot eingezeichnet.
Bereits für n gleich 100 sehen wir die sehr gute Approximation der Zähldichte der standardisierten
Binomialverteilung an die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.
Sie wird umso besser, je größer n wird, also je mehr Reihen das Galtonbrett hat.
Üblicherweise wird der zentrale Grenzwertsatz nicht für Dichtefunktionen formuliert,
sondern für die zugehörigen Verteilungsfunktionen.
Wir veranschaulichen das zunächst im Spezialfall der Binomialverteilung.
Wir starten dazu wieder mit der Binomialverteilung mit den Parametern n gleich 10 und p gleich 0,4
und zeichnen nun deren Verteilungsfunktion.
Erhöhen wir auf n gleich 100, verschiebt sich der Funktionsgraph nach rechts,
was der monoton wachsenden Abhängigkeit des Erwartungswerts von n entspricht.
Das korrigieren wir durch Zentrierung, also durch Subtraktion des Erwartungswerts.
Bei erneuter Erhöhung von n beobachten wir die mit n größer werdende Standardabweichung
als Verbreiterung des Funktionsgraphen.
Schließlich gehen wir zur standardisierten Summvariablen über.
Durch die Standardisierung stabilisiert sich der Funktionsgraph der Verteilungsfunktion
bei Erhöhung von n jetzt sehr schnell.
Auch hier ist deutlich die gute Approximation an die in rot gezeichnete Verteilungsfunktion
der Standardnormalverteilung zu erkennen.
[Musik]
Die in der grafischen Darstellung gewonnenen Erkenntnisse formulieren wir nun präzise
als mathematische Aussage.
Wir starten mit einer Folge von unabhängigen und identisch Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen Y i.
In der Situation des Galtonbretts modellieren diese die Hindernisse, die eine Kugel entweder
nach links oder nach rechts ablenken.
Daraus bilden wir S n als die Summvariable der Y 1 bis Y n.
Sie beschreibt die Verteilung der Kugeln auf die Fächer, wenn das Galtonbrett aus n Reihen besteht
Die Summvariable standardisieren wir zu S n Stern, indem wir den Erwartungswert n mal p subtrahieren
und anschließend durch die Standardabweichung, Wurzel aus n mal p mal 1 minus p, dividieren.
Dann gilt der zentrale Grenzwertsatz.
Die Verteilungsfunktion der standardisierten Summvariable S n Stern konvergiert für n gegen unendlich
gegen die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen Z.
Diese Funktion wird in der Stochastik mit dem griechischen Großbuchstaben Phi bezeichnet.
Wie wir in den Grafiken gesehen haben, ist hierbei die Standardisierung wichtig,
damit sich überhaupt ein Grenzwert herausbilden kann.
Sind die Zufallsvariablen Y i wie hier Bernoulli-verteilt, spricht man auch vom zentralen
Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace.
Allerdings gilt der zentrale Grenzwertsatz nicht nur in diesem Spezialfall, sondern sogar
ganz allgemein für unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen Y i,
deren Erwartungswert µ und Varianz σ² existiert.
Nachdem wir die Summvariable standardisiert haben, konvergiert deren Verteilungsfunktion
immer gegen die Funktion Phi.
Auf die konkrete Verteilung der Y i kommt es nicht an.
Dem zentralen Grenzwertsatz kommt so eine universelle Bedeutung in der Stochastik zu.
Fassen wir noch einmal zusammen, was wir in diesem Video gelernt haben.
Der zentrale Grenzwertsatz ist eine Grenzwertaussage aus der Stochastik und beschreibt ein universelles
Gesetz des Zufalls.
Setzt sich ein zufälliger Vorgang aus einer Summe von einzelnen Zufallsexperimenten zusammen,
die unabhängig voneinander und in gleicher Weise wiederholt werden, so stellt sich im
Grenzwert unendlich vieler Wiederholungen immer eine Normalverteilung ein.
Genauer betrifft dabei die Grenzwertbildung die Folge der Verteilungsfunktionen
der standardisierten Summenvariablen.
Hierbei ist die Standardisierung der Summenvariablen wichtig, damit die Verteilung zentriert bleibt
und nicht verflacht.
Im Spezialfall, dass ein zufälliger Vorgang aus einer Abfolge von Bernoulli-Experimenten besteht,
spricht man vom zentralen Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace.
Dieser wird durch das Galtonbrett veranschaulicht.
Je mehr Reihen es auf dem Brett gibt, desto genauer wird die Verteilung der Kugeln auf
die Fächer durch eine Normalverteilung beschrieben.
Dankeschön und bis zum nächsten Mal.