Herzlich willkommen zu einem weiteren Video
im Rahmen von OER Stochastik zu den Grundlagen der Maßtheorie.
In diesem Video befassen wir uns mit Mengensystemen
und Wahrscheinlichkeitsräumen.
Wir motivieren, warum Mengensysteme und Wahrscheinlichkeitsräume
essenziell für die stochastische Modellbildung sind
und wofür wir Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsmaße
und Messbarkeit benötigen.
Widmen wir uns zunächst der Frage, wie wir in der Stochastik Modelle bilden,
um praktisch relevante Fragen zu beantworten. Betrachten wir dazu
einige Beispiele.
Wir ziehen mit oder ohne zurücklegen durchnummerierte Kugeln
aus einer Urne mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge.
Wir würfeln zweimal und bilden die Summe der beiden Würfe.
Wir messen den Blutdruck der Teilnehmerinnen und Teilnehmer
in einer klinischen Studie.
Oder wir notieren täglich den Kurs einer Aktie.
Stellen wir uns die Frage, wie wir solche Situationen
mathematisch modellieren können.
Dazu stellen wir eine kurze Vorüberlegung an.
Wir müssen zunächst einmal entscheiden, welche Mengen wir überhaupt
eine Wahrscheinlichkeit zuordnen wollen.
Im obigen Beispiel des Wurfes zweier Würfel,
deren Summe wir bilden, könnten wir uns fragen: Reichen die Tupel
(1,1), (1,2), (1,3) usw. bis (6,6) aus,
um die Situation stochastisch zu modellieren? Die Antwort ist nein,
denn wir können Ereignisse formulieren, die aus mehreren
solcher Elementarereignisse bestehen.
Beispielsweise ist das Ereignis A Die Summe zweier Würfel
ist gleich sieben durch sechs Elementarereignisse gegeben.
Das Ereignis A ist offensichtlich komplizierter und wir benötigen
ein größeres Mengensystem als nur die Ereignisse,
die beim Experiment als Elementarereignisse auftreten können,
um sinnvoll stochastische Modelle zu bilden. Das Mengensystem
aller Elementarereignisse reicht also im zweifachen Würfelwurf-Beispiel
nicht aus, um die Situation zu modellieren.
Wir benötigen ein größeres Mengensystem Omega.
Generell können wir also als Vorüberlegung festhalten:
Der Grundraum Omega, der aus allen Elementarereignissen
besteht, die bei Durchführung des Experiments eintreten können.
Im Beispiel etwa Das Tupel (1,1) ist zu klein
für eine sinnvolle Modellbildung.
In der Maßtheorie führt man daher andere Mengensysteme ein,
die gewünschte Eigenschaften haben, welche man vorab formuliert.
Eine solche Eigenschaft ist etwa, dass das Mengensystem mindestens
den Grundraum Omega aller Elementarereignisse enthält,
die im Experiment auftreten können.
Kommen wir damit zu Mengensystemen.
Stellen wir uns die Frage, welche Eigenschaften
ein gutes Mengensystem haben sollte.
Das Mengensystem sollte die Grundmenge enthalten.
Außerdem sollte es stabil bezüglich der Komplementbildung sein,
das heißt, wenn er ein Ereignis A im Mengensystem enthalten ist,
so sollte auch das Komplement von A darin enthalten sein.
Zusätzlich wäre wünschenswert, dass das Mengensystem stabil
bezüglich abzählbarer Vereinigungen ist, das heißt, wenn eine abzählbare Menge
von Mengen darin enthalten ist, so sollte auch deren Vereinigung
im Mengensystem liegen.
Erfüllt ein Mengensystem die drei genannten Eigenschaften,
so nennt man eine Sigma Algebra.
Eine Sigma Algebra ist das Standard-Mengensystem,
welches wir in der Stochastik verwenden.
Man kann leicht überprüfen, dass zum Beispiel
die Potenzmenge einer Menge, also die Menge aller Teilmengen
einer Menge, eine Sigma-Algebra ist.
Die Grundmenge ist in der Potenzmenge enthalten.
Sie ist stabil bezüglich Komplementbildung und stabil bezüglich
abzählbarer Vereinigung.
Jetzt, wo wir die Potenzmenge als Sigma Algebra motiviert haben,
stellen wir uns die Frage, wie wir Ereignissen aus der Potenzmenge
eine Wahrscheinlichkeit zuordnen können.
Damit kommen wir zu der Definition und zum Begriff
eines Wahrscheinlichkeitsmaßes.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß können wir uns zunächst
als eine Art Funktion vorstellen, die von der Sigma-Algebra A
in das Intervall eins abbildet und jedem Ereignis
eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
Wir können uns zunächst fragen, welche Eigenschaften
eine solche Funktion haben sollte.
Offensichtlich sollte die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
zwischen null und eins liegen.
Außerdem sollte die Wahrscheinlichkeit des Grundraumes
eins betragen, das heißt, wir erhalten mit Sicherheit
eines der Elementarereignisse als Ergebnis des Experiments.
Zuletzt sollte für eine abzählbare Folge von paarweisen disjunkten Ereignissen
die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung dieser Ereignisse
gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten sein.
Diese Eigenschaft nennen wir auch Sigma-Aditivität.
Erfüllt eine Funktion diese drei Eigenschaften,
so nennen wir sie Wahrscheinlichkeitsmaß.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist also eine Funktion,
die jedem Element unserer Sigma-Algebra eine Wahrscheinlichkeit zuordnet
und die gewünschten Minimalanforderungen erfüllt. Spielen wir das Ganze am Beispiel
des zweifachen Würfelwurfes einmal durch.
Den Grundraum Omega können wir als alle Tupel
(i,j) mit i und j aus der Menge 1 bis 6 wählen,
also gerade als die Menge aller Elementarereignisse,
die beim zweifachen Würfelwurf auftreten können.
Die zugehörige Sigma Algebra wählen wir als die Potenzmenge
und das Wahrscheinlichkeitsmaß wählen wir als das sogenannte Laplace Maß,
welches die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
A als die Anzahl aller Elementarereignisse,
geteilt durch die Anzahl aller Elementarereignisse
im Grundraum Omega definiert.
Das heißt, wir teilen die Anzahl der für das Ereignis
A günstigen Elementarereignisse durch die Anzahl
aller im Grundraum enthaltenen Elementarereignisse.
Stellt sich nun die Frage, wie wir die Wahrscheinlichkeitunseres Ereignisses
A: Summe bei der Würfel gleich sieben berechnen.
Um diese Frage beantworten zu können, betrachten wir die folgende Grafik.
Links sehen wir alle Elementarereignisse, die auftreten können.
Rechts sehen wir, welche Summe sich jeweils
aus welchem Elementarereignis ergibt.
Und die Pfade zeigen, wie oft jeweils verschiedene Summen
aus den Elementarereignissen entstehen.
Wir sehen, dass die Summe sieben aus den Ereignissen
(6,1), (5,2), (4,3), (3,4) (2,5)
und (6,1) gebildet werden kann, welche in der roten Haupdiagonale
des Quadrats zu sehen sind.
Dies sind sechs Elementarereignisse und da es insgesamt
36 Elementarereignisse gibt, sollte die Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses A: Summe beider Würfel gleich sieben entsprechend 6/36 sein.
Die obige Idee können wir nun formalisieren,
was zum Begriff der Zufallsvariable, Messbarkeit
und des Bildmaßes führt.
Betrachten wir dazu unseren Wahrscheinlichkeitsraum.
Links im Bild Das Tripel aus Grundraum, Sigma-Algebra
und Wahrscheinlichkeitsmaß nennt man auch Wahrscheinlichkeitsraum.
Wir betrachten nun eine Abbildung X, die von unserem Urbildraum
in einem zweiten Raum, den sogenannten Bildraum, abbildet.
Dieser ist mit einer weiteren Sigma-Algebra versehen,
hat jedoch bis jetzt kein Wahrscheinlichkeitsmaß,
welches jedem Ereignis in der Sigma-Algebra
eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
In unserem Beispiel des zweifachen Würfelwurfes
entspricht der Bildraum den Summen 2, 3, 4 usw. bis zur Summe beider Würfel
gleich 12.
Die auf dem Bildraum ausgewählte Sigma-Algebra
können wir als die zugehörige Potenzmenge wählen.
Und es stellt sich nun die Frage, wie das Wahrscheinlichkeitsmaß
definiert werden sollte, wie wir also jeder Summe
aus zwei Würfelergebnissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.
Auf Basis der vorherigen Überlegungen wissen wir, dass zu dem Bildpunkt,
dass die Summe den Wert sieben annimmt, mehrere Bildpunkte existieren,
nämlich sechs an der Zahl.
Einer davon etwa ist der Urbild (1,6).
Das Ereignis A: Summe beider Würfel gleich sieben
besteht also aus den 6 Urbildpunkten oder Elementarereignissen,
die links eingeblendet sind.
Wir formalisieren nun unsere Idee von eben und definieren das sogenannte Bildmaß
als die Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse
aus dem Urbildraum, für die die Abbildung X
in der gesuchten Bildmenge landet.
Ist also das Ereignis A' gleich sieben, so bilden wir die Wahrscheinlichkeit
aller Elementarereignisse aus dem Urbildraum,
für die die Abbildung X den Wert sieben annimmt.
Dies ist gerade die Wahrscheinlichkeit unserer 6 Urbildpunkte,
so dass wir nur die Laplace Wahrscheinlichkeit dieser bilden müssen,
welche wir bereits als 6/36 herausgefunden haben.
Das Maß P' nennen wir auch Bildmaß und die Abbildung X Zufallsvariable.
Das Bildmaß nutzt also implizit das Wahrscheinlichkeitsmaß P
auf dem Urbildraum aus, um Ereignissen im Bildraum Wahrscheinlichkeiten
zuzuordnen. Daher auch der Name Bildmaß.
Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen,
dass Tripel aus Grundmenge, Sigma-Algebra und Wahrscheinlichkeitsmaß
nennen wir Wahrscheinlichkeitsraum.
Assoziieren wir kein Wahrscheinlichkeitsmaß
mit der Sigma-Algebra, so heißt das Tupel aus Grundmenge
und Sigma-Algebra Messraum.
Eine Zufallsvariable ist eine messbare Funktion,
die vom Urbildraum in den Bildraum abbildet.
Messbarkeit heißt hierbei, dass das Urbild jeder Menge
aus dem Bildraum in der Sigma-Algebra des Urbildraumes liegt.
Damit stellen wir sicher, dass die entsprechenden Urbilder
einer Bildmenge auch tatsächlich in der Sigma-Algebra A
des Grundraumes Omega liegen.
Wäre dies nämlich nicht der Fall, so könnten wir diesen Ereignissen
ja gar keine Wahrscheinlichkeit im Urbildraum zuordnen.
Kommen wir nun zu einem zweiten Beispiel.
Bisher haben wir uns nur diskreten Grundräumen gewidmet,
das heißt, die Anzahl der Elementarereignisse war endlich.
In der Praxis ist dies jedoch oft nicht der Fall oder unrealistisch.
Betrachten wir dazu zum Beispiel die GPS Positionen im R2,
wobei wir den R2 der Einfachheit halber auf den Einheitswürfel
im R2 einschränken.
Vernachlässigen wir die endliche Präzision bei der GPS Ortung für einen Moment.
So sind alle reellen Tupel (a,b) mit a und b aus R in Omega enthalten.
Der Grundraum Omega ist damit nicht mehr endlich,
nicht mal mehr abzählbar.
Das Problem was nun entsteht ist: Die Laplace Wahrscheinlichkeit
ist nicht mehr anwendbar, denn der Nenner wäre unendlich.
Überlegen wir uns daher, was ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß
auf einer geeigneten Sigma-Algebra auf dem Einheitswürfel
im R2 erfüllen sollte.
Zunächst sollte jede Menge eine Fläche zwischen Null
und unendlich durch ein solches Maß zugeordnet bekommen.
Außerdem sollte das Maß P verschiebungsinvariant sein,
das heißt, wenn wir eine Menge verschieben,
ändert sich ihr Flächeninhalt nicht weiter.
Sollte die Fläche normiert sein, das heißt der Einheitswürfel sollte
die Fläche eins besitzen.
Außerdem sollte die Vereinigung abzählbar vieler disjunkter Flächen als Fläche
gerade die Summe der Einzelflächen besitzen.
All diese Eigenschaften erscheinen sinnvoll und unumstritten.
Leider ist die Konstruktion einer solchen Maßfunktion
nach dem Satz von Vitali unlösbar, das heißt, wir finden auf der Potenzmenge
kein solches Maß.
Um dieses Problem zu lösen, geht man wie folgt vor.
Schwächen wir die obige Aussage ab, dass wir jeder Menge,
also allen in der Potenzmenge enthaltenen Mengen
eine Fläche zuordnen wollen und beschränken uns
auf eine geeignete Sigma-Algebra, so finden wir ein eindeutiges Maß,
welches uns die gewünschten Eigenschaften liefert. Die Borelsche Sigma Algebra
ist daher wie folgt definiert: Sei X und O ein topologischer Raum,
wobei O Das Mengensystem der offenen Mengen ist.
Dann heißt die von diesen offenen Mengen erzeugte Sigma-Algebra
die Borelsche Sigma-Algebra.
Der wichtigste Fall ist die Borelsche Sigma-Algebra
auf dem R hoch d, hier eingeschränkt auf den Einheitswürfel.
Die Schreibweise mit dem geschwungenen B lesen wir also
als die Borelsche Sigma Algebra auf der in den jeweils runden Klammern
angegebenen Menge.
Welches Wahrscheinlichkeitsmaß finden wir nun
auf der borelschen Sigma-Algebra?
Auf der borelschen Sigma-Algebra auf dem Einheitswürfel im R hoch d
finden wir ein eindeutig bestimmtes verschiebungsinvariantes
Wahrscheinlichkeitsmaß, das sogenannte Lebesgue-Maß,
eingeschränkt auf das Intervall [0,1] hoch d.
Man kann dieses als Maß auf dem R hoch d verallgemeinern,
das heißt, dass das Maß dann nicht mehr auf eins normiert ist.
Es bildet die Grundlage der Lebesgue-Integration.
Und obwohl die Konstruktion des Maßes aufwendig ist, lohnt sie sich,
denn wir können damit auch auf nicht diskreten Grundräumen
stochastische Modelle bilden.
Der Preis, mit dem diese Eigenschaft erkauft wird,
ist der Verzicht jeder Teilmenge des Grundraumes
eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.
Wir schränken uns also bewusst auf das von den offenen Intervallen
erzeugte Mengensystem ein, auf die Borelsche Sigma-Algebra.
Man kann sich nun fragen, ob diese für die Praxis groß genug ist.
Und ohne hier näher ins Detail zu gehen: Die Antwort ist ja.
Es gibt zwar nicht Borel-messbare Mengen, diese sind jedoch für die Praxis
kaum relevant und sehr komplex.
Kommen wir damit zur Zusammenfassung.
In diesem Video haben Sie gelernt, warum Mengensysteme
für die Modellbildung in der Stochastik grundlegend sind.
Dass die Potenzmenge auf diskreten Grundräumen
stets eine Sigma-Algebra ist und die Laplace-Wahrscheinlichkeit
ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß, was eine Sigma-Algebra ist,
ein Wahrscheinlichkeitsmaß, ein Messraum und ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Was eine Zufallsvariable ist, Messbarkeit bedeutet und ein Bildmaß ist.
Warum der naive Ansatz, die Potenzmenge als Sigma-Algebra zu wählen,
auf nicht diskreten Grundträumen scheitert. Und
dass die Borel-Sigma-Algebra hier das Problem löst
und das Lebesgue-Maß als das eindeutig bestimmte
verschiebungsinvariante Wahrscheinlichkeitsmaß
auf dieser konstruiert werden kann.