Die geometrische Verteilung

Mit der geometrischen Verteilung lassen sich verschiedene Situationen beschreiben. Ein klassisches Beispiel ist, dass \(X\) die Anzahl der Fehlversuche beschreibt, bis zum ersten Mal ein Erfolg eintritt. \(p\) bezeichnet dabei die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs in einem einzelnen Versuch.

Beispiel: Ein klassisches Beispiel für eine geometrisch verteilte Zufallsvariable ist die Anzahl an Würfen mir einem fairen Würfel, bevor zum ersten Mal eine sechs gewürfelt wird. In diesem Beispiel gilt dann \(p=\frac{1}{6}\).

Die interaktive Anwendung unten zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(p(k)=P(X=k)\) einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen mit Parameter \(p\) (blaue Punkte).

Bedienen Sie nun die interaktive Anwendung und bearbeiten Sie die unten stehenden Aufgaben. Beim Bearbeiten der interaktiven Anwendung können Sie die Veränderungen der Wahrscheinlichkeitsfunktion, des Erwartungswerts und der Standardabweichung beobachten. Bitte berücksichtigen Sie dabei die unten stehenden Arbeits- bzw. Beobachtungsaufträge. Wenn Sie möchten, können Sie sich zu Ihren Überlegungen Notizen machen. Nach einem Klick auf die Felder „Mögliche Lösung anzeigen“ können Sie Musterlösungen zu den einzelnen Aufgaben anschauen.

Sie können den Parameter \(p\) mithilfe des Schiebereglers (links) verändern. Zudem können Sie über die Checkboxen (unten) den Erwartungswert und die Standardabweichung von \(X\) einblenden.

Aufgaben:

Bitte bedienen Sie die interaktive Anwendung, um die folgenden Fragen zu beantworten. Achten Sie auf \(P(X=k)\), aber auch auf den Erwartungswert und die Standardabweichung.

(a) Was geschieht wenn \(p\) nahe null ist? Geben Sie eine Erklärung für Ihre Beobachtung.

Eine mögliche Lösung lautet wie folgt:

  • Der Erwartungswert ist bei \(p \le 0, 04\) außerhalb des sichtbaren Bereichs.
  • Die Standardabweichung verschwindet bei \(p = 0\).
  • Grund: Anschaulich ist \(\text{E}(X)\) die erwartete Anzahl an Missversuchen vor dem ersten Erfolg. Ist die Wahrscheinlichkeit des Erfolges \(p\) klein, so ist dementsprechend auch zu erwarten, dass eine große Anzahl an Versuchen benötigt wird, um zum ersten Erfolg zu kommen. Ist \(p = 0\), kann es keinen Erfolg geben (egal wie viele Versuche). Folglich sind \(\text{E}(X)\) und \(\sigma(X)\) dann nicht zu sehen.

(b) Was geschieht bei \(p = 1\)? Geben Sie eine Erklärung für Ihre Beobachtung.

Eine mögliche Lösung lautet wie folgt:

  • Erwartungswert und Standardabweichung sind beide null.
  • Grund: Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 1\), dann tritt der Erfolg definitiv beim ersten Versuch ein. Daher ist der Erwartungswert (erwartete Anzahl an Misserfolgen vor dem ersten Erfolg) \(\text{E}(X) = 0\). Als Streuung ist (da nur dieser eine Fall infrage kommt) die Standardabweichung ebenfalls null.

(c) Bewegen Sie den Schieberegler langsam und gleichmäßig von ganz unten nach ganz oben. Was fällt Ihnen bei der Veränderung des Erwartungswerts auf? Geben Sie eine Erklärung für Ihre Beobachtungen.

Eine mögliche Lösung lautet wie folgt:

  • Der Erwartungswert verändert sich bei Werten nahe null sehr schnell/stark, allerdings kaum bei Werten nahe 1.
  • Grund: Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) sehr klein, so ist die Anzahl der zu erwartenden Misserfolge vor dem ersten Erfolg sehr groß und bewegt sich generell in einer ganz anderen Größenordnung als für große \(p\). Daher fällt eine minimale Anderung von \(p\) vor allem dann ins Gewicht, wenn \(p\) klein ist.

(d) Vergleichen Sie die Situationen \(p \approx 1\) und \(p \approx 0\). Wo liegen Gemeinsamkeiten und wo Unterschiede? Geben Sie eine Erklärung für Ihre Beobachtung.

Eine mögliche Lösung lautet wie folgt:

Gemeinsamkeit:
  • Für \(p=0\) und \(p=1\) gilt \(P(X=k)=0\) für alle \(k>0\).
  • Grund: Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0\), so tritt bei jedem Versuch Misserfolg ein. Die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs im \(k + 1\)-ten Versuch ist also null \(\forall k\). Umgekehrt tritt für \(p = 1\) der Erfolg schon im ersten Versuch ein. Die Wahrscheinlichkeit von \(k\) Misserfolgen ist also null \(\forall k > 0\).
Unterschiede:
Fall \(p\approx 0\) Fall \(p\approx 1\)
  • Ist \(p\) etwas größer als null, sind die Werte von \(P (X = k)\) für alle \(k\) immer noch ähnlich.
  • Grund: Bei einer kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs im \(k + 1\)-ten Versuch für jedes \(k\) zunächst relativ klein, die Wahrscheinlichkeit steigt erst für größere \(k\) langsam an. Je größer \(p\) wird, desto wahrscheinlicher ist ein früher Erfolg. Demnach ist der Unterschied zwischen den \(k\) dann größer.
  • Ist \(p\) etwas kleiner als 1, verändern sich (zunächst nur) die Werte von \(P (X = k)\) für kleine \(k\).
  • Grund: Bei einer großen Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit eines frühen Erfolgs sehr groß, weswegen – wird \(k\) größer – die Wahrscheinlichkeit kleiner wird (und zwar schnell so klein, dass zwischen den Werten für verschiedene \(k\) kaum noch ein Unterschied zu sehen ist).
  • Ist \(p\) etwas größer als null, ist der Erwartungswert sehr groß und wird recht schnell kleiner.
  • Grund: siehe Lösung von (c).
  • Ist \(p\) etwas kleiner als 1, ist der Erwartungswert null und wird langsam größer.
  • Grund: siehe Lösung von (c).
  • Für \(p=0\) gilt \(P(X=k)=0\) für alle \(k\).
  • Grund: Im Fall \(p = 0\) tritt der Erfolg nie ein, d. h. \(P(X = k) = 0\ ∀k\) (es gilt also auch \(P(X = 0) = 0\)).
  • Für \(p=1\) gilt \(P(X=k)=0\) nur für alle \(k>0\) (mit \(P(X=0)=1\)).
  • Grund: Im Fall \(p = 1\) tritt der Erfolg definitiv im ersten Versuch ein (null Misserfolge vor dem ersten Versuch), d. h. \(P (X = 0) = 1\).