Wenn unter bestimmten Bedingungen an die Parameter einer Verteilung sich diese einer anderen Verteilung annähert, kann durch eine Approximation die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mitunter stark vereinfacht werden, ohne einen allzu großen Fehler im Ergebnis zu erzeugen. Oft liegt solchen Approximationen ein Grenzwertsatz zugrunde.
Mit der Poisson-Approximation kann die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung (nach Siméon Denis Poisson, 1781 - 1840) angenähert werden. Sie basiert auf dem Poissonschen Grenzwertsatz: Unter der Voraussetzung \(\lim\limits_{n\to\infty}np_n=\lambda\in\mathbb{R}\) gilt für jedes \(k\in\mathbb{N}_0\) \[\lim_{n\to\infty}\text{Bin}(n,p_n)(\{k\})=\text{Poi}(\lambda)(\{k\}).\] Falls also das Produkt \(np_n\) für \(n\longrightarrow\infty\) gegen eine reelle Zahl \(\lambda\) konvergiert, konvergiert die Zähldichte der Binomialverteilung mit Parametern \(n\) und \(p_n\) für \(n\longrightarrow\infty\) gegen die Zähldichte der Poisson-Verteilung mit Parameter \(\lambda\).
Der Poissonsche Grenzwertsatz kann bewiesen werden, indem die Zähldichte der Binomialverteilung so umgeformt wird, dass unter der Voraussetzung an die Folge \((p_n)_{n\in\mathbb{N}}\) der Erfolgswahrscheinlichkeiten die Konvergenz gegen die Zähldichte der Poisson-Verteilung erkennbar wird: Aus \(np_n\longrightarrow\lambda\) für \(n\to\infty\) folgt zunächst insbesondere \(p_n\longrightarrow0\) für \(n\to\infty\), d.h. die Folge \((p_n)_{n\in\mathbb{N}}\) muss eine Nullfolge sein. Für jedes \(k\in\mathbb{N}_0\) gilt dann \begin{align*} \text{Bin}(n,p_n)(\{k\}) &=\dbinom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}\\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}p_n^k(1-p_n)^n(1-p_n)^{-k}\\ &=\frac{1}{k!}\cdot\prod_{j=0}^{k-1}\frac{n-j}{n}\cdot(np_n)^k\cdot\left(1-\frac{np_n}{n}\right)^n\cdot(1-p_n)^{-k}\\ &\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{k!}\cdot1\cdot\lambda^k\cdot e^{-\lambda}\cdot1\\ &=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\\ &=\text{Poi}(\lambda)(\{k\}). \end{align*}
Bei der Poisson-Approximation wird nun für festes \(n\) und festes \(p\) direkt \(\lambda=np\) gesetzt. Dann gilt für jedes \(k\in\mathbb{N}_0\) zumindest die Näherung \[\text{Bin}(n,p)(\{k\})\approx\text{Poi}(\lambda)(\{k\})=\text{Poi}(np)(\{k\}).\] In den folgenden interaktiven Grafiken ist diese Approximation visualisert. Die linke Grafik zeigt in blau die Zähldichte der Binomialverteilung mit Parametern \(n\) und \(p\) und in rot die Zähldichte der Poisson-Verteilung mit Parameter \(\lambda=np\). Die rechte Grafik zeigt die Differenz zwischen den beiden Zähldichten, also die Genauigkeit der Poisson-Approximation.
Verändern Sie die Werte von \(n\) und \(p\) über die Schieberegler oder die Eingabefelder.
Beschreiben Sie mithilfe der interaktiven Grafik die Veränderung der Zähldichten und des Approximationsfehlers, wenn Sie
Wird bei festem \(p\) der Wert von \(n\) vergrößert, verringert sich die maximale Betragsdifferenz zwischen den Zähldichten und der Approximationsfehler wird kleiner. Zugleich wird bei beiden Verteilungen der Modus größer. Wird bei festem \(n\) der Wert von \(p\) vergrößert, erhöht sich der Approximationsfehler und der Modus wird jeweils größer. Wird bei festem \(n\) der Wert von \(p\) verringert, verringert sich der Approximationsfehler und der Modus wird jeweils kleiner.
Ist das Produkt \(np\) konstant, bleibt der Modus beider Verteilungen unverändert und der Approximationsfehler wird umso kleiner, je größer \(n\) und je kleiner \(p\) wird. Das verdeutlicht die Poisson-Approximation, dass die Binomialverteilung \({Bin}(n,p)\) für große Werte von \(n\) und kleine Werte von \(p\) durch die Poisson-Verteilung \(\text{Poi}(np)\) approximiert werden kann.