Hallo und herzlich willkommen zum Lernvideo über den Poissonschen Grenzwertsatz und die Poisson-Approximation.
In diesem Video lernen wir die Motivation und Aussage des Poissonschen Grenzwertsatzes kennen.
Wir erkennen Anwendungsfälle der Poisson-Approximation und führen Rechnungen für simple Anwendungen durch.
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Schauen wir uns als Motivation das klassische Lotto 6aus49 Spiel an.
In einem 7x7-Block aus Zahlen müssen sechs Kreuze gesetzt werden,
die dann hoffentlich mit denjenigen Zahlen übereinstimmen, die bei der nächsten Ziehung zufällig gezogen werden.
Dabei zeichnet sich jede Spielteilnahme durch eine sehr geringe Erfolgswahrscheinlichkeit aus,
tatsächlich die sechs Richtigen angekreuzt zu haben.
Mit kombinatorischen Überlegungen findet man heraus, dass diese Wahrscheinlichkeit 1 durch 49 über 6 beträgt,
also ungefähr gleich 7,15 mal 10 hoch minus 8 ist.
Bei jeder Ziehung werden nun sehr viele Spielreihen getippt.
Wir versuchen die Frage zu beantworten,
mit welcher Wahrscheinlichkeit genau zweimal die sechs Richtigen getippt werden.
Wir uns also im Fall des Gewinns den Jackpot mit einer weiteren Person teilen müssen.
In dieser Formulierung stellt das Lottospiel ein Beispiel für ein Zufallsexperiment dar,
das nur zwei mögliche Ausgänge besitzt, Erfolg und Misserfolg, und welches sehr häufig wiederholt wird.
Schon auf einen einzelnen Lottoschein passen bis zu zwölf Spielreihen.
Dabei ist zusätzlich in jeder einzelnen Wiederholung die Erfolgswahrscheinlichkeit sehr klein.
Wir interessieren uns dann für die Gesamtanzahl der Erfolge.
In der Praxis kommt eine solche Situation beispielsweise vor,
wenn wir an der Anzahl an fehlerhaften Bauteilen in einem Produktionsprozess interessiert sind,
bei dem ein einzelnes Bauteil nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit gewisse Gütekriterien nicht einhält.
Ein weiteres Beispiel sind die Anzahl der Verkehrsunfälle innerhalb eines Jahres.
Es gibt sehr viele VerkehrsteilnehmerInnen, aber gleichzeitig ist die Wahrscheinlichkeit eines Unfalls für eine einzelne Person sehr gering.
Ein drittes Beispiel sind die Anzahl der Zerfälle eines radioaktiven Nuklids
eines festen Volumens innerhalb einer Minute.
Auch hier ist die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall eines einzelnen Atomkerns sehr gering.
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Situationen dieser Art wollen wir nun mathematisch modellieren.
Zunächst tun wir dies wieder im Beispiel des Lotto 6aus49.
Die zufällige Anzahl X der Tippreihen, bei denen die sechs Richtigen angekreuzt wurden, ist eine Zufallsvariable,
die binomialverteilt ist mit den Parametern n und p gleich 1 durch 49 über 6.
Der Einfachheit halber nehmen wir im Folgenden an, n sei gleich 10 hoch 7.
Insbesondere haben damit p und 1 durch n ungefähr dieselbe Größenordnung.
Wir können dann die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 2 annimmt, durch eine konkrete Formel angeben.
Mit der Zähldichte der Binomialverteilung ist diese Wahrscheinlichkeit
gleich n über 2 mal p Quadrat mal 1 minus p hoch n minus 2.
Aufgrund des großen Zahlenwerts von n und des kleinen Zahlenwerts von p
stoßen wir bei der konkreten Berechnung dieses Ausdrucks aber womöglich auf numerische Probleme.
Um diese Probleme zu umgehen, stellen wir uns X als Folgenglied X n einer Folge von Zufallsvariablen vor
und versuchen eine geeignete Grenzwertaussage für n gegen unendlich herzuleiten.
Genauer soll dabei X n binomialverteilt mit Parametern n und p n sein.
Wenn wir von der Folge p n verlangen, dass es sich um eine Nullfolge im Intervall (0,1) handelt, die gegen 0 konvergiert,
sodass das Produkt n mal p n gegen eine positive reelle Zahl Lambda konvergiert,
so besteht die Hoffnung, dass auch der Grenzwert von p von X n gleich 2 existiert.
Diese Hoffnung können wir grafisch anhand der Zähldichte der Binomialverteilung motivieren.
Verändern wir zuerst nur den Wert von n bei festem p, so ist noch kein sinnvoller Grenzwert zu erkennen.
Genauso ist es, wenn wir bei festem n den Wert von p verändern.
Wird dagegen n groß und gleichzeitig p klein, sodass n mal p ungefähr konstant bleibt,
so verändert sich die Zähldichte kaum noch und scheint sich einem Grenzwert anzunähern.
Wie dieser Grenzwert genau aussieht, beschreibt der Poissonsche Grenzwertsatz, den wir uns jetzt anschauen.
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Mathematisch formuliert lautet der Poissonsche Grenzwertsatz wie folgt:
Sei p n eine Folge im Intervall (0,1) und Lambda eine positive reelle Zahl,
sodass das Produkt n mal p n für n gegen unendlich gegen Lambda konvergiert.
Dann gilt für alle nicht-negativen ganzen Zahlen k,
dass n über k mal p n hoch k mal 1 minus p n hoch n minus k im Grenzwert für n gegen unendlich
gegen e hoch minus Lambda mal Lambda hoch k durch k! konvergiert.
Der Term auf der linken Seite ist die bekannte Wahrscheinlichkeit,
dass eine binomial verteilte Zufallsvariable den Wert k annimmt.
Der Grenzwert auf der rechten Seite definiert ein neues diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß
auf den nicht-negativen ganzen Zahlen, die sogenannte Poisson-Verteilung.
Wir bezeichnen sie mit Poi von Lambda.
Werten wir ihre Zähldichte an der Stelle k aus,
dann erhalten wir die Wahrscheinlichkeit, dass eine poisson-verteilte Zufallsvariable den Wert k annimmt,
also gerade e hoch minus Lambda mal Lambda hoch k durch k!.
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Die wichtigste Anwendung des Poissonschen Grenzwertsatzes ist die sogenannte Poisson-Approximation.
Sie beruht auf der folgenden Heuristik:
Im Poissonschen Grenzwertsatz wird eine Grenzwertbeziehung für n gegen unendlich gefolgert,
in der also näherungsweise Gleichheit für große n gelten muss.
Als Voraussetzung fordern wir, dass n mal p n gegen Lambda konvergiert.
Das bedeutet insbesondere, dass p n eine Nullfolge und damit klein im Vergleich zu n sein muss.
Trifft beides zu, ist also n groß und p klein,
dann ist die Zähldichte der Binomialverteilung mit Parametern n und p
ungefähr gleich der Zähldichte der Poisson-Verteilung mit Parametern n mal p.
Eine mit der Binomialverteilung nur schwer zu berechnende Wahrscheinlichkeit
kann so durch eine mit der Poisson-Verteilung leichter zu berechnende Wahrscheinlichkeit approximiert werden.
Außerdem lassen sich mit dieser Argumentation geeignete reale Sachverhalte direkt mit der Poisson-Verteilung modellieren.
Wir illustrieren die Poisson-Approximation am Beispiel der Lottoziehung.
Dort haben wir eine binomialverteilte Zufallsvariable,
die die zufällige Anzahl der Tippreihen mit sechs Richtigen beschreibt
und die Parameter sind n gleich 10 hoch 7 und p gleich 1 durch 49 über 6.
Die exakte Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 2 annimmt,
berechnet sich mit der Formel n über 2 mal p Quadrat mal 1 minus p hoch n minus 2,
ist also für großes n gar nicht so leicht auszurechnen.
Wenden wir nun die Poisson-Approximation auf dieses Beispiel an,
so ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 2 annimmt, ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit,
dass eine Poisson-Verteilte Zufallsvariable mit Parameter n mal p den Wert 2 annimmt.
Diese Wahrscheinlichkeit ist e hoch minus n mal p mal n mal p Quadrat durch 2!,
was selbst für großes n einfach zu berechnen ist.
Die konkreten Werte, die wir hier jeweils erhalten, sind 0,12 und so weiter
und unterscheiden sich erst in der 9. Nachkommastelle.
Die Approximation ist also ganz ausgezeichnet.
Der Einfluss der Parameter n und p auf die Güte der Poisson-Approximation
lässt sich auch grafisch verdeutlichen.
Mit dunkelblauen Punkten gezeichnet ist hier die Zähldichte der Binomialverteilung
mit den Parametern n gleich 30 und p gleich 0,75.
Die roten Dreiecke bilden die Zähldichte der Poisson-Verteilung
mit den Parametern n mal p gleich 22,5.
Die Poisson-Approximation behauptet, dass beide Zähldichten nah beieinander liegen,
wenn n groß und p klein ist.
Erhöhen wir zunächst nur den Wert von n,
so stellen wir fest, dass beide Verteilungen zwar langsam zueinander finden,
diese aber gleichzeitig gegen plus unendlich divergieren.
Ähnlich führt eine Verringerung von p zu einer weiteren Annäherung.
Allerdings konvergieren nun beide Verteilungen in die Null.
Ändern wir hingegen n und p gleichzeitig so,
dass das Produkt n mal p konstant bleibt,
so bleiben beide Verteilungen nicht-degeneriert
und wir erhalten eine exzellente Approximation.
Fassen wir noch einmal zusammen, was wir in diesem Video gelernt haben.
Der Poissonsche Grenzwertsatz ist eine Grenzwertaussage aus der Stochastik und lautet:
Wenn n mal p n gegen Lambda konvergiert,
dann konvergiert die Zähldichte der Binomialverteilung mit Parametern n und p n
gegen die Zähldichte der Poisson-Verteilung mit Parameter Lambda.
Dabei hat die Zähldichte der Poisson-Verteilung an der Stelle k
den Wert e hoch minus Lambda mal Lambda hoch k durch k!.
Als Anwendung haben wir die Poisson-Approximation kennengelernt.
Wenn n groß und p klein ist,
ist die Zähldichte der Binomialverteilung mit Parametern n und p
ungefähr gleich der Zähldichte der Poisson-Verteilung mit Parametern n mal p.
Durch diese Approximation können wir Wahrscheinlichkeiten leichter berechnen.
Außerdem motiviert sie die Verwendung der Poisson-Verteilung
zur Modellierungen geeigneter realer Sachverhalte.
Dankeschön und bis zum nächsten Mal.