Hallo und herzlich Willkommen zum Lernvideo über elementare Momente.
In diesem Video lernen wir mit dem Erwartungswert und der Varianz zwei häufig verwendete Kenngrößen
von Zufallsvariablen kennen, die wichtige Eigenschaften ihrer Verteilung quantitativ zusammenfassen.
Wir motivieren im diskreten Fall Formeln zur Berechnung des Erwartungswerts und der Varianz
und leiten dann anhand der Formeln grundlegende Rechenregeln her.
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Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen ist vollständig durch ihre Zähldichte gegeben.
In den meisten Fällen ist dies aber nur schwer zu interpretieren, sodass man versucht,
sie durch geeignete Kenngrößen zu beschreiben.
Interessant ist beispielsweise die mittlere Lage der Verteilung.
Welchen Wert würde man im Mittel erwarten, wenn ein Zufallsphänomen einer gegebenen
Verteilung folgt und sehr oft beobachtet wird?
Zur Beantwortung dieser Frage wird häufig der sogenannte Erwartungswert herangezogen.
Wir können uns dem Problem anschaulich nähern, indem wir die Zähldichte als Balkendiagramm
zeichnen und auf einer Wippe platzieren, deren Auflagepunkt frei beweglich ist.
Wir fassen nun die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung als eine diskrete Massenverteilung auf.
An den Ausprägungen x i ist also jeweils eine Masse angebracht, die genau der jeweiligen
Wahrscheinlichkeit p i entspricht.
Die Gesamtmasse entspricht der Summe über alle Wahrscheinlichkeiten, ist also gleich 1.
Wenn wir nun den Auflagepunkt verschieben, kippt die Wippe mal zur einen und mal zur anderen Seite.
Die mittlere Lage erfassen wir anschaulich durch denjenigen Auflagepunkt,
in welchem sich die Wippe im Gleichgewicht befindet.
Diesen Punkt nennen wir den Erwartungswert der zur Zähldichte gehörenden Verteilung.
Im Folgenden leiten wir aus dieser Anschauung eine mathematische Formel für den Erwartungswert her.
Wir berechnen dazu für einen beliebigen Auflagepunkt A für jede Ausprägung x i den vorzeichenbehafteten
Abstand zwischen Ausprägung und Auflagepunkt, also x i minus A.
Multiplizieren wir diesen Wert mit der zugehörigen Masse p i, so bildet das Produkt x i minus A mal p i
anschaulich ein Maß dafür, wie sehr die jeweilige Masse die Wippe nach rechts bzw. links kippen lässt
Physikalisch entspricht dieses Produkt einem Drehmoment.
Im Gleichgewichtszustand sollten sich alle diese Drehmomente zu 0 aufsummieren.
Aus dieser Bedingung lässt sich dann eine Formel für den zugehörigen Auflagepunkt A herleiten.
Zunächst multiplizieren wir dazu die Klammern aus
und schreiben den Ausdruck als Differenz zweier Summen.
Die zweite Summe bringen wir auf die rechte Seite der Gleichung.
Aus dieser klammern wir dann den Faktor A aus.
Übrig bleibt die Summe bei den Wahrscheinlichkeiten p i, die gleich 1 ist.
Der Gleichgewichtspunkt, den wir im Folgenden mit A gleich E von X bezeichnen,
ist somit die mit den Wahrscheinlichkeiten p i gewichtete Summe der Ausprägungen x i.
Wir sprechen vom Erwartungswert oder vom ersten Moment der Zufallsvariablen bzw. ihrer Verteilung.
[Musik]
Eine naheliegende Frage ist, wie sich der Erwartungswert unter einer Transformation
der Zufallsvariablen verhält.
Besonders einfach ist die Klasse der affinen Transformationen,
die sich aus einer Verschiebung und einer Skalierung zusammensetzen.
Die Rechenregeln sind in diesem Fall sowohl grafisch gut nachvollziehbar
als auch rechnerisch leicht herzuleiten.
Zunächst betrachten wir die Verschiebung der Zufallsvariablen X
um eine feste reelle Zahl b.
Grafisch entspricht das einer Verschiebung der Verteilung um b entlang der horizontalen Achse.
Wir sehen, dass die Wippe aus dem Gleichgewicht gerät, der Erwartungswert hat sich also geändert.
Aber wie genau?
Nun, der Erwartungswert hängt von den Ausprägungen x i und den Wahrscheinlichkeiten p i ab.
Die Wahrscheinlichkeiten haben sich durch die Verschiebung nicht geändert,
aber die Ausprägungen wurden alle um b verschoben.
Es ist also anschaulich klar, dass auch der ursprüngliche Erwartungswert um b verschoben werden muss,
um wieder ein Gleichgewicht herzustellen.
Wir rechnen das nach und setzen X plus b anstelle von X in die Formel für den Erwartungswert ein.
In der Wahrscheinlichkeit kürzt sich dann der +b Term sofort weg.
Danach schreiben wir den Ausdruck als zwei separate Summen.
Der erste Term ist genau der Erwartungswert von X und im zweiten Term können wir b ausklammern.
Die verbleibende Summe über die Wahrscheinlichkeiten ist gleich 1.
Insgesamt erhalten wir somit die Formel: Erwartungswert von X + b ist gleich Erwartungswert von X plus b.
Nun betrachten wir die Skalierung der zufallsvariablen X mit einer festen reellen Zahl a ungleich 0,
wobei wir uns hier auf a größer 0 beschränken.
Grafisch entspricht das einer Streckung bzw. Stauchung der Verteilung mit dem Faktor a
in horizontaler Richtung.
Dabei werden alle Ausprägungen mit demselben Faktor a multipliziert.
Intuitiv muss also auch der ursprüngliche Erwartungswert mit a multipliziert werden,
um wieder ein Gleichgewicht herzustellen.
Auch das wollen wir rechnerisch herleiten,
wobei die Rechnung auch für beliebige a ungleich 0 gültig ist.
Wir setzen also a · X für X in die Erwartungswertformel ein.
In der Wahrscheinlichkeit können wir den Faktor a herauskürzen, da a ungleich 0 ist.
Dann klammern wir den Faktor a aus.
Die verbleibende Summe ist nach Definition der Erwartungswert von X.
Es gilt also die Formel: Erwartungswert von a · X ist gleich a mal Erwartungswert von X.
Da sich eine allgemeine affine Transformation aus einer Verschiebung und einer Skalierung
zusammensetzt, erhalten wir durch Kombination beider Rechenregeln die Formel:
Erwartungswert von a · X + b ist gleich a mal Erwartungswert von X plus b.
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Die Beschreibung einer Zufallsvariablen bzw. ihrer Verteilung alleine durch ihren Erwartungswert
ist jedoch nicht ausreichend.
Das können wir anhand der folgenden Beispiele einsehen.
Wir starten mit der uns bereits bekannten Verteilung und markieren den Erwartungswert
durch Ausbalancieren der Wippe.
Wir können uns nun leicht Verteilungen überlegen, die denselben Erwartungswert haben, sich aber
in anderen Eigenschaften grundlegend unterscheiden.
Zum Beispiel diese Verteilung hier.
Die Ausprägungen am Rand treten mit großer Wahrscheinlichkeit auf,
in der Mitte betragen die Wahrscheinlichkeiten dagegen 0.
Dennoch bleibt die Wippe aufgrund der Symmetrie im Gleichgewicht.
Bei dieser Verteilung ist es umgekehrt, innen sind die Wahrscheinlichkeiten groß
und außen sind sie 0.
Wieder bleibt die Wippe aufgrund der Symmetrie im Gleichgewicht.
Offenbar haben alle drei Verteilungen denselben Erwartungswert, unterscheiden sich jedoch
in der Streuung der Ausprägungen um den Erwartungswert.
Wie können wir diese Streuung mathematisch beschreiben?
Nähern wir uns den verschiedenen Streuungen der drei Verteilungen anschaulich dadurch,
dass wir uns vorstellen, die Wippe bestehe aus einem biegsamen Material.
Die Wippe wird sich stark biegen, wenn die einzelnen Massen weit weg vom Erwartungswert verteilt sind.
Genauso ist eine insgesamt geringe Biegung zu erwarten,
wenn die Massen stark um den Erwartungswert konzentriert sind.
Zwar ist es aus physikalischer Sicht nicht korrekt, hier die Biegung des Balkens zu betrachten,
doch durch diese Anschauung erscheint es plausibel, die mit den Massen gewichteten Abstände der
Ausprägungen zum Erwartungswert als Grundlage für die Definition eines Streuungsmaßes heranzuziehen.
Es gibt dafür mehrere sinnvolle Herangehensweisen.
Eine erste besteht darin, für jede Ausprägung x i, das Produkt aus dem Abstand von x i zu
E von X, also x i minus E[X] Betrag, mit der zugehörigen Masse p i zu bilden.
Das gewichtete Mittel der absoluten Abweichung definiert ein erstes, simples Streuungsmaß,
die sogenannte mittlere absolute Abweichung.
Damit große Abstände einen stärkeren Betrag zur Streuung liefern, ist es gebräuchlicher,
in dieser Formel die Abstände x i minus E[X] Betrag zu quadrieren.
Das gewichtete Mittel der quadratischen Abweichungen definiert dann die sogenannte Varianz von X,
welche wir mit Var von X notieren.
Die Wurzel aus der Varianz heißt Standardabweichung, sie wird mit Sigma X bezeichnet und besitzt
dieselbe Maßeinheit wie der Erwartungswert.
Gehen wir noch einmal zurück zu den drei Beispielen und berechnen jeweils die Varianz
bzw. die Standardabweichung mit der hergeleiteten Formel.
Bei der ersten Verteilung beträgt die Varianz 1,95 und die Standardabweichung 1,40.
Bei der zweiten Verteilung streuen die Ausprägungen sehr stark um den Erwartungswert.
Die Varianz beträgt sogar 4,45 und die Standardabweichung 2,11.
Bei der dritten Verteilung streuen die Ausprägungen eher schwach um den Erwartungswert.
Die Varianz beträgt nur 1,45 und die Standardabweichung 1,20.
[Musik]
Wie schon beim Erwartungswert untersuchen wir das Verhalten der Varianz unter einer
affinen Transformation der Zufallsvariablen.
Zunächst verschieben wir die Zufallsvariable X um eine feste reelle Zahl b.
Wir wissen, dass der Erwartungswert von X + b gleich dem Erwartungswert von X plus b ist
und haben daher den Auflagepunkt der Wippe bereits um b verschoben,
damit diese im Gleichgewicht ist.
Wie hat sich die Varianz der Zufallsvariablen verändert?
In der Zeichnung offenbar gar nicht, da sowohl die Wahrscheinlichkeiten als auch die Abstände
zum Erwartungswert gleich geblieben sind, wir erkennen keine Veränderungen der Streuung.
Das können wir rechnerisch nachvollziehen, indem wir in die definierende Gleichung der
Varianz X + b für X einsetzen.
Zuerst kürzen wir in der Wahrscheinlichkeit den +b Term auf beiden Seiten.
Anschließend schreiben wir minus Erwartungswert von X + b als minus Erwartungswert von X minus b.
Damit heben sich dann der +b und der -b Term gegenseitig auf.
Der verbleibende Ausdruck ist nach Definition die Varianz von X.
Die Varianz ist also invariant unter einer Verschiebung.
Dasselbe gilt auch für die Standardabweichung.
Nun skalieren wir die Zufallsvariable X mit einer festen reellen Zahl a ungleich 0.
In der Grafik ist wieder a positiv.
Wir wissen, dass der Erwartungswert von a · X gleich a mal dem Erwartungswert von X ist
und haben daher den Auflagepunkt der Wippe bereits mit a skaliert,
damit diese im Gleichgewicht ist.
Wie hat sich nun die Varianz der Zufallsvariablen verändert?
Alle Ausprägungen wurden mit dem Faktor a skaliert.
Dasselbe gilt für deren Abstände vom Erwartungswert.
Da in die Varianz quadratische Abweichungen vom Erwartungswert eingehen,
sollte sich die Varianz also mit dem Faktor a Quadrat geändert haben.
Rechnen wir das anhand der Definition nach, wobei wir wie schon beim Erwartungswert
beliebige a ungleich 0 zulassen.
Dazu setzen wir die Varianzformel a · X für X ein.
Da a ungleich 0 ist, können wir in der Wahrscheinlichkeit den Faktor a herauskürzen.
Anschließend klammern wir aus der Klammer den Faktor a aus
und ziehen ihn quadriert vor die Summe.
Die verbleibende Summe stimmt nach Definition mit der Varianz von X überein.
Wird eine Zufallsvariable mit einem Faktor a multipliziert, so ändert sich also die
Varianz mit dem Faktor a Quadrat.
Ziehen wir auf beiden Seiten dieser Gleichung die Wurzel, so erhalten wir außerdem,
dass die Standardabweichung von a · X gleich dem Betrag von a mal der Standardabweichung von X ist.
Bei einer allgemeinen affinen Transformation stellen wir durch Kombination beider Rechenregeln fest,
dass nur die Skalierung mit a einen Einfluss auf die Streuung hat,
nicht jedoch die Verschiebung um b.
Es gilt die Formel: Varianz von a · X + b ist gleich a Quadrat mal Varianz von X.
Fassen wir noch einmal zusammen, was wir in diesem Video gelernt haben.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen gibt die mittlere Lage ihrer Verteilung an.
Wird die Zufallsvariable verschoben oder skaliert,
so ändert sich der Erwartungswert gemäß derselben Transformation.
Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Verteilung um ihren Erwartungswert.
Sie bleibt unverändert unter Verschiebung,
ändert sich aber bei einer Skalierung quadratisch mit dem Skalierungsfaktor.
Dankeschön und bis zum nächsten Mal.