Beim Ziegenproblem, auch Drei-Türen-Problem genannt, geht es um die folgende Situation: In einer Spielshow muss sich die Kandidatin für eine von drei Türen entscheiden. Hinter einer Tür befindet sich der Gewinn, beispielsweise ein Luxusauto, hinter den beiden anderen Türen befindet sich jeweils eine Ziege. Der Gewinn wird von den Produzenten der Show zufällig hinter einer der drei Türen platziert, und nur der Showmaster weiß, hinter welcher Tür er sich befindet. Nach der Wahl der Kandidatin öffnet er zunächst eine der beiden nicht gewählten Türen, hinter der sich auf jeden Fall eine Ziege befindet. Anschließend stellt er die Kandidatin vor die Wahl, bei der zuerst gewählten Tür zu bleiben oder zur verbleibenden Tür zu wechseln. Das dahinter befindliche Objekt geht schließlich in den Besitz der Kandidatin über. Wie sollte sich die Kandidatin entscheiden, d.h. mit welcher Spielstrategie hat sie die größte Chance auf den Gewinn?
Zur Lösung des Problems stellen wir alle möglichen Spielverläufe in einem Baumdiagramm dar.
Vervollständigen Sie zunächst das Baumdiagramm, indem Sie die blauen, rautenförmigen Felder und die roten, quadratischen Felder auf die richtigen Knotenpunkte verschieben.
Um das Baumdiagramm zu vervollständigen, klicken Sie auf
Berechnen Sie nun mithilfe des Multiplikationssatzes die Gewinnwahrscheinlichkeit allgemein in Abhängigkeit von \(p\) und \(q\).
Es gibt vier mögliche Pfade, die zum Gewinn \(G\) führen: \(G\rightarrow Z_1\rightarrow G\) und \(G\rightarrow Z_2\rightarrow G\) und \(Z_1\rightarrow Z_2\rightarrow G\) und \(Z_2\rightarrow Z_1\rightarrow G\). Indem wir mit dem Multiplikationssatz die bedingten Wahrscheinlichkeiten entlang der jeweiligen Kanten multiplizieren und diese vier Zwischenergebnisse summieren, erhalten wir die Gewinnwahrscheinlichkeit \[\frac{1}{3}\cdot p\cdot q+\frac{1}{3}\cdot(1-p)\cdot q+\frac{1}{3}\cdot1\cdot(1-q)+\frac{1}{3}\cdot1\cdot(1-q)=\frac{2-q}{3}.\] Der Parameter \(p\) des Showmasters hat also keinen Einfluss auf die Gewinnwahrscheinlichkeit, sondern diese hängt allein von der Spielstrategie der Kandidatin ab, kodiert durch den Parameter \(q\).
Welche dieser drei Spielstrategien besitzt somit die größte Gewinnwahrscheinlichkeit?
Strategie 1 entspricht \(q=1\) mit der Gewinnwahrscheinlichkeit \(\frac{2-q}{3}=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}\). Da die monoton fallende Funktion \(q\mapsto\frac{2-q}{3}\) auf dem Intervall \([0,1]\) das Minimum in \(q=1\) annimmt, ist dies jedoch die schlechteste Strategie. Die Kandidatin sollte also auf keinen Fall bei der zuerst gewählten Tür bleiben.
Die bestmögliche Strategie erhält man für \(q=0\), d.h. wenn die Kandidatin mit Strategie 2 spielt und auf jeden Fall zur anderen noch verschlossenen Tür wechselt. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt dann \(\frac{2-q}{3}=\frac{2-0}{3}=\frac{2}{3}\), ist also doppelt so groß wie bei Strategie 1.
Strategie 3 dagegen entspricht \(q=\frac{1}{2}\) mit der Gewinnwahrscheinlichkeit \(\frac{2-q}{3}=\frac{2-\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{2}\) und bietet somit nur eine 50:50 Chance auf den Gewinn.