"Kets" $| \psi \rangle \in \mathcal H$ sind (abstrakte) Vektoren des Hilbertraums und beschreiben physikalische Zustände
Für Ket-Vektoren $|\alpha\rangle, |\beta\rangle$ gelten die üblichen Axiome eines Vektorraums (mit $a,b \in \mathbb C$)
Es lässt sich ein Skalarprodukt für zwei Vektoren $|\alpha\rangle, |\beta\rangle$ definieren:
$ |\alpha\rangle \cdot |\beta\rangle \equiv \langle \alpha |\beta\rangle = \int d^3\vec r \alpha^*(\vec r) \beta(\vec r) = \left(\langle \beta |\alpha\rangle\right)^* \in \mathbb C$
"Transponierte Vektoren" $\langle \alpha |$ nennt man auch Bras. Sie bilden ebenfalls einen Vektorraum (den dualen Hilbertraum $\mathcal H^*$)
Matrix-elemente von Operatoren $\hat A$ mit Vektoren $| \psi \rangle$ berechnen sich mit
$ \small \begin{aligned} \langle \hat A \rangle \equiv \langle \psi | \hat A | \psi \rangle = \langle \psi | \hat A \psi \rangle = \int d^3 \vec r d^3\vec r'\; \psi^*(\vec r') A(\vec r', \vec r) \psi(\vec r) = \langle \hat A^\dagger \psi | \psi \rangle =\int d^3 \vec r d^3\vec r'\; A^*(\vec r, \vec r') \psi^*(\vec r') \psi(\vec r) \end{aligned} $
Man sagt auch $\hat A^\dagger$ (A dagger) ist der adjugierte Operator. Für Matrizen entspricht dies der komplexen Konjugation und der Transponierung.
Es lässt sich ein Identitätsoperator im Orts- und Impulsraum darstellen $ \hat{\mathbb 1} \equiv \int d^3 \vec r | \vec r \rangle \langle \vec r| = \int d^3 \vec p | \vec p \rangle \langle \vec p|$
Orts- und Impulstraumdarstellung von Zuständen verhalten sich wie Fourier-transformierte Funktionen
$ \psi(\vec r, t) = \int \frac{d^3 \vec p}{\sqrt{2 \pi \hbar}^3} \exp\left\{+\frac{i}{\hbar}{i \vec p \cdot \vec r}\right\} \tilde \psi(\vec p, t) $ und $ \tilde \psi(\vec p, t) = \int \frac{d^3 \vec r}{\sqrt{2 \pi \hbar}^3} \exp\left\{-\frac{i}{\hbar}{i \vec p \cdot \vec r}\right\} \psi(\vec r, t) $
Die Varianz $\text{Var}(\hat O)$(und somit Standardabweichung $\Delta O$) eines Operators $\hat O$ für einen Zustandsvektore $|\psi\rangle$ folgen der statistischen Interpretation
$\small \text{Var}(\hat O) \equiv (\Delta O)^2 \equiv \left\langle \left(\hat O - \langle \hat O\rangle\right)^2\right\rangle = \left\langle \hat O^2\right\rangle - \left\langle \hat O\right\rangle^2$
Unter Nutzung der Schwarzschen Ungleichung kann man zeigen, dass unabhängig von dem Zustandsvektor für hermitesche Operatoren gilt
$\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}\left| \langle [\hat A, \hat B] \rangle \right|$ z.B. $\Delta p_i \Delta x_j = \hbar \delta_{ij}/2$
Siehe auch das Quiz zur Heisenbergschen Unschärferelation für die Darstellung eines Gausßschen Wellenpakates
Mögliche Lösungen der Schrödingergleichung erhält man durch $\psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})\exp(-i Et/\hbar)$, wobei $\psi(\vec{r})$ die zeitunabhängige (oder stationäre) Schrödingergleichung erfüllt:
$$ \hat{H} \psi(\vec{r})=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +\hat{V}(\vec{r})\right)\psi(\vec{r})= E\psi(\vec{r}) $$
Im 1-D Fall folgt aus obiger Gleichung für die zweifache Ableitung der Wellenfunktion: $$ \psi''(x)=-\frac{2m}{\hbar^2}\left(E-V(x)\right)\psi(x) $$
Wenn eine Funktion $f$ nicht stetig ist , dann divergiert die Ableitung:
$\lim\limits_{\epsilon\to 0} \left(f(x+\epsilon) - f(x-\epsilon)\right) \neq 0$ $\Leftrightarrow$ $f'(x) = \lim\limits_{\epsilon\to 0} \frac{f(x+\epsilon) - f(x-\epsilon)}{2\epsilon} = \infty$
Folgerung: Für „gutartige“ Potentiale $V(x)$ (u.a. nicht divergent) müssen $\psi(x)$ und $\psi'(x)$ stetig sein.
Für Potentiale $V\sim\delta(x-a)$ divergiert $\psi''(a)$ und somit kann $\psi'(a)$ nicht stetig sein
(aber $\psi(a)$ kann stetig sein für eine geignete Wahl von $\psi'$; dies definiert die
Quantisierungsbedingung).