Aus der Vorlesung
Interferenzmuster von Elektronen am Mehrfachspalt
- Intensität am Einzelspalt: $I_{1}(r, \alpha)=W_{0}^{2}\left(\frac{d}{r}\right)^{2} \frac{\sin ^{2}\left(\frac{k d}{2} \sin \alpha\right)}{\left(\frac{k d}{2} \sin \alpha\right)^{2}}$
- Am Mehrfachspalt: $I_{N}(r, \alpha)=I_{1}(r, \alpha)|W(\alpha)|^{2}$ mit $W(\alpha)=\frac{1-\exp (i N a k \sin \alpha)}{1-\exp (i a k \sin \alpha)}$
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- Die Wahrscheinlichkeit ein einzelnes Teilchen (Elektron) zu messen ist proportional zur Intensität (Wellenfunktion zum Quadrat)
- Es ist nicht möglich die Trajektorie eines einzelnes Teilchens vorherzusagen; messen wir den Spaltdurchlauf, zerstören wir das Interferenzmuster
Elektroneninterferenzmuster am Doppelspalt: $N=10\to 7 \cdot 10^4$
A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, and T. Kawasaki, AJP 57, 117 (1989)
Aus der Vorlesung
Die Interpretation der Wellenfunktion
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Die Born/Wiener Interpretation der Wellenfunktion: Die Wahrscheinlichkeit ein Quant in einem Volumen $V = d^3 \vec{r}\,$ am Ort $\vec r$ zum Zeitpunkt $t$ zu messen ist $P(\vec r, t) = \left|\psi(\vec r, t)\right|^2 d \vec r^3 $
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Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist definiert als $\varrho(\vec{r}, t) \equiv |\psi(\vec{r}, t)|^{2}=\psi^{*}(\vec{r}, t) \psi(\vec{r}, t)$ zu definieren
- Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist normiert mit $\int d^3 \vec{r}\, \varrho(\vec{r}, t) = 1$
- Die Normierung der Dichte ist zeitunabhängig: $\frac{d}{dt} \int d^3 \vec{r}\, \varrho(\vec{r}, t) = 0$
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Die Wahrscheinlichkeitsdichte erfüllt die Kontinuitätsgleichung: $\frac{\partial \varrho}{\partial t}( \vec r,t )+\vec\nabla_{\vec r} \cdot j( \vec r,t )=0$
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$\vec j ( \vec r,t )$ ist der Wahrscheinlichkeitsstrom: $ \vec j(\vec r, t) \equiv\frac{\hbar}{2 m i}\left(\psi^{*} \vec\nabla_{\vec r} \psi-\psi \vec\nabla_{\vec r} \psi^{*}\right) $
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Das Korrespondenzprinzip besagt, dass jeder Observablen $O(\vec r, \vec p)$ ein Operator $\hat O \equiv O(\hat{\vec{r}}, \hat{\vec{p}})$ zuordnen kann
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Für eine Lösung der Schrödingergleichung ist der Erwartungswert eines Operators ist gegeben als
$$ \langle \hat O\rangle(t) \equiv \int \mathrm{d}^{3} r \, \psi^{*}(\vec r, t) O(\hat{\vec{r}}, \hat{\vec{p}}) \psi(\vec r, t) $$
- Für hermitesche Operatoren (Wirkung nach links komplex-konjugiert gleich Wirkung nach rechts) sind Observablen reell
- Quantenmechanische Operatoren sind linear (z.B. wie Matrizen)
- Kommutieren zwei Operatoren $\hat A \hat B - \hat B \hat A \equiv [\hat A, \hat B] \overset{!}{=} 0$, lassen sich deren Eigenwerte simultan messen.
$[\hat A, \hat B] \equiv \hat A \hat B - \hat B \hat A $ ist der sogenannte Kommutator.
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Hausaufgabe Blatt 4
Das Ehrenfest-Theorem
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Wir haben die Erwartungswerte (oder Mittelwerte) auf Operatorebene eingeführt als $\langle \hat{A} \rangle := \langle A \rangle$ für eine Observable/ Messgröße $A$.
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Für diese Erwartungswerte wurde in der Vorlesung das Ehrenfest-Theorem eingeführt als
$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \langle \hat{\vec{r}} \rangle = \frac{1}{m}\langle\hat{\vec{p}}\rangle\,,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \langle \hat{\vec{p}} \rangle = -\langle \vec{\nabla}_{\vec{r}} \hat{V}\rangle$ $\Rightarrow m \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} \langle \hat{\vec{r}}\rangle = -\langle \vec{\nabla}_{\vec{r}} \hat{V}\rangle$ (analog zum 2. Newtonschem Axiom).
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Die Erwartungswerte in der Quantenmechanik entsprechen den klassischen Größen!
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Das allgemeine Ehrenfest-Theorem ergibt sich zu
$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \langle \hat{A} \rangle =\frac{1}{i\hbar}\left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right]\right\rangle +\left\langle \frac{\partial\hat{A}}{\partial t} \right\rangle\,, $$
analog zu $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f = \{f,H\}_P + \frac{\partial f}{\partial t}$ aus der klass. Mechanik (Poisson Klammern $\{\cdot,\cdot\}_P$ $\rightarrow$ Kommutator $[\cdot,\cdot]$).
Die Heisenbergsche Unschärferelation
- Eine Größe um die Verteilung der Wellenfunktion zu beschreiben ist die Breite $\Delta A$ einer Observablen $A$: $$ \Delta A =\sqrt{\langle\left(A-\langle A\rangle\right)^2\rangle} =\sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2}\,. $$
- Für die Ort- und Impulsbreite gilt insbesondere die Heisenbersche Unschärferelation: $\Delta \hat{x}_i \Delta \hat{p}_j\geq \frac{\hbar}{2}\,\delta_{ij}$.