Aus der Vorlesung

Motivation: Beschreibung von Materiewellen über Wellenpakete

$$ \psi(\vec r, t) = \int \frac{ \mathrm{d}^{3} k}{(2 \pi)^{3 / 2}} \underbrace{a(\vec{k})}_{\mathrm{Amplitude}} \exp \{i\underbrace{(\vec{k} \cdot \vec{r}-\omega(\vec k) t)}_{\mathrm{Phase}}\} $$

GIF von Wikipedia

  • Definition von Phasen- und Gruppengeschwindigkeit über Dispersionsrelation $\omega(\vec k)$

    • Die Phasengeschwindigkeit beschreibt die Ausbreitung ebener Teilwellen: $ \vec v_{\tiny \mathrm{Phase}}(\vec k) = \vec e_k \omega(\vec k)/k $

    • Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt die Ausbreitung des Wellenpaketes: $ \vec v_{\tiny \mathrm{Gruppe}}(\vec k) = \vec \nabla_{\vec k} \omega(\vec k) $

  • Nicht dispersive Wellen breiten sich konstant aus: $v_{\tiny \mathrm{Phase}} = v_{\tiny \mathrm{Gruppe}} = \mathrm{const}$, z.B. $=c$ für Licht ($\Rightarrow \omega = c k$).

  • Dispersive Wellen haben eine nicht-lineare Dispersionsrelation.

    Speziell gilt für Materiewellen:

    $$ \begin{aligned} \omega (\vec k) &=c \sqrt{\left(\frac{m c}{\hbar}\right)^{2}+k^{2}} \\ &\overset{k \to 0}{\longrightarrow} \frac{m c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m} \end{aligned} $$

Aus der Vorlesung

  • Herleitung der „Bewegungsgleichung“ von Materiewellen über Analogie: Welche Differentialgleichung wird durch Wellen mit Materie-Dispersion gelöst?

    • Relativistisch: Die kräftefreie Klein-Gordon Gleichung

      $$\left[\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\Delta_{\vec{r}}+\left(\frac{m c}{\hbar}\right)^{2}\right] \psi(\vec{r}, t)=0 $$

      (Auch gültig für masselose Wellen wie Licht)

    • Nicht-relativistisch: Die Schrödinger Gleichung

      $$\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r}, t) =}_{\text{Zeitabhängige SGL}} E \psi(\vec{r}, t) \underbrace{= \left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \Delta_{\vec r}+V(\vec{r})\right] \psi(\vec{r}, t)}_{\text{Zeitunabhängige SGL}} $$

    • Identifikation von linearen (Differential-)Operatoren: $\underbrace{\hat{O}}_{\text{Operator}} \psi(\vec{r}, t) = \underbrace{O}_{\text{Observable}} \psi(\vec{r}, t)$

      $$ \begin{aligned} \text{Ort:} && \hat{\vec{r}} \psi(\vec{r}, t) &= \vec r \, \psi(\vec{r}, t) \\ \text{Impuls:} && \hat{\vec{p}} \psi(\vec{r}, t) &= -i \hbar \vec \nabla_{\vec r}\psi(\vec{r}, t) = \vec p \, \psi(\vec{r}, t) \\ \text{Energie:} && \hat{E} \psi(\vec{r}, t) &= i \hbar \partial_t \psi(\vec{r}, t) = E \, \psi(\vec{r}, t) \\ \text{Hamiltonian (Energie):} && \hat{H} \psi(\vec{r}, t) &= \left[-{\hbar^{2} \Delta_{\hat{\vec{r}}}}/{(2 m)} +V(\hat{\vec{r}})\right]\psi(\vec{r}, t) = E \, \psi(\vec{r}, t) \end{aligned} $$

Hausaufgabe Blatt 3

Der Doppelspalt

  • Interferenzmuster einzelner Elektronen am Mehrfachspalt (Herleitungsdetails nächsten Freitag)
    Anzahl der Spalte
    N = 2
    Spaltabstand
    a
    Spaltbreite
    d
    Wellenlänge
    λ
    HTML5-Canvas nicht unterstützt!

    Widget verfügbar auf www.leifiphysik.de. © Thomas Unkelbach

Sphärische Symmetrie / Lösungen der Schrödingergleichung

  • Gegeben ist eine Lösung der Schrödingergleichung $\psi(r)$.
    • Was ist $V(r)$, so dass $\psi(r)$ die zeitunabhängige SGL erfüllt?
    • Wie muss die Dispersionsrelation lauten, so dass $\psi(r, t)$ die SGL erfüllt?
    • Wie sieht der Wahrscheinlichkeitsstrom aus (mehr am nächsten Freitag)?
  • Hilfreich: Betrachtung in geeigneten Koordinaten
    (siehe auch Differential-Operatoren in verschiedenen Koordinatensystemen).

Elektroneninterferenzmuster am Doppelspalt: $N=10\to 7 \cdot 10^4$
A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, and T. Kawasaki, AJP 57, 117 (1989)