Aus der Vorlesung

Darstellung der Strahlengesetze: differentielle Energiedichten in Abhängigkeit von Frequenzen / Wellenlängen

• Das Wien'sche Strahlengesetz:

  $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \nu}=\frac{a}{c^{4}} \nu^{3} \exp \left\{-\frac{b \nu}{c T}\right\} $

  • Gute Beschreibung für große Frequenzen / kleine Wellenlängen

• Das Rayleigh-Jeans Strahlengesetz:

  $\displaystyle\small \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \nu}=\frac{8 \pi k_{B} T}{c^{3}} \nu^{2}$

  • Gute Beschreibung für kleine Frequenzen / große Wellenlängen
  • Nutzt mittlere Energie bestimmt aus thermodynamischen Prinzipien: $\bar U = k_B T$
    $\rightarrow$Folgt aus kontinuirlichen Energieverteilungen von Hohlraumschwingungen $E(n) = n \epsilon_0$ mit $0\leq n \in \mathbb R$
  • Resultiert in Ultraviolette Katastrophe $u \to \infty$

• Das Planck'sche Strahlengesetz:

  $\displaystyle \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \nu}=\frac{8 \pi h \nu^{3}}{c^{3}} \frac{1}{\exp \left\{h \nu/(k_{B} T)\right\}-1}$

  • Nutzt mittlere Energie bestimmt aus thermodynamischen Prinzipien,
    aber Grundlegende Annahme im krassen Widerspruch zur klassischen Physik:
    Quantisierung der Schwingungsenergien: $E(n) = n \epsilon_0$ mit $0\leq n \in \mathbb N$
  • Gute Beschreibung für große und kleine Frequenzen / kleine und große Wellenlängen
  • Löst das Problem der Ultravioletten Katastrophe: $u = \alpha T^4$

• Alternative Herleitung: Bestimmung von Strahlungsgesetzen über Differentialgleichungen

  • Technische Herleitung: Welche Bedingungen muss die differentielle Energiedichte erfüllen, um Wien und RJ zu reproduzieren? $\Rightarrow$ Differentialgleichung über Entropie (thermodynamische Zustandsgröße für Ungewissheit; Mehr in Teil II)

  • Der Wachstum der Entropie mit der mittleren Energie entspricht $1/T \Rightarrow$ Differentialgleichung für $\bar U$:

    $\displaystyle \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} \bar{U}}=\frac{1}{T(\bar{U})}$ wobei $T(\bar U)$ die inverse Funktion der klassichen vorlesungsbekannten $\bar U(T)$ ist

  • Die gesuchte, neue Funktion $T(\bar{U})$ soll die klassichen Grenzfälle reproduzieren, deren Übergang darstellen und kann genutzt werden um die mittlere Energie $\bar U(T)$ zu erhalten.

• Grenzfälle: Zeige, dass das Planck'sche Strahlengesetz die vorherigen Gesetze vereint
  • Expliziter Vergleich der Strahlengesetze in verschiedenen Grenzbereichen
  • Reproduzieren der allgemeingültigen Gesetze:
    • Stefan-Boltzmann: $\displaystyle u = \int_0^\infty d\nu \frac{d u}{d \nu} = \alpha T^{4}$
    • Wien'sche Verschiebungsgestz: $\lambda_\mathrm{max} T = x_0 = \mathrm{const} $
• Bemerkung: In der Vorlesung wurden diese Gesetze bereits mit abstrakten Funktionen hergeleitet; hier geht es um die explizite Herleitung. Dies ermöglicht es die Parameter $x_0$ und $\alpha$ über fundamentale Parameter zu beschreiben!