Sei \(f:D\to \mathbb {R}\) eine Funktion und \(x_0\in \mathbb {R}\).

Man sagt, dass \(f\) für \(x\to x_0\) den Grenzwert \(a\) hat, wenn für jede Folge \(( x_ n)_{n\in \mathbb {N}}\) mit \(x_ n\in D\setminus \{ x_0 \} \) und \(\lim \limits _{n\to \infty } x_ n= x_0\) gilt:

\(\lim\limits_{n\to\infty}f( x_n)=a.\)

Man schreibt in diesem Fall

\(\lim\limits_{x\to x_0}f( x)=a.\)

Seien \(f\) und \(g\) zwei Funktionen, für die die Grenzwerte \(\lim\limits_{x\to x_0} f( x)\) und \(\lim \limits _{x\to x_0} g( x)\) beide existieren. Dann gilt

\(\begin{array}{rcl}\lim\limits_{x\to x_0}\left(f( x)+g( x)\right)&=&\lim\limits_{x\to x_0}f( x)+\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\\ \lim\limits_{x\to x_0}\left(f(x)-g(x)\right)&=&\lim\limits_{x\to x_0}f( x)-\lim\limits_{x\to x_0}g( x)\\ \lim\limits_{x\to x_0}\left(f( x)\cdot g( x)\right)&=&\lim\limits_{x\to x_0}f( x)\cdot\lim\limits_{x\to x_0}g( x)\\ \lim\limits_{x\to x_0}\displaystyle\frac{f( x)}{g( x)}&=&\displaystyle\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f( x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g( x)}\;\;\text{falls}\;\;\lim\limits_{x\to x_0}g( x)\neq 0\\ \lim\limits_{x\to x_0}(c\cdot f( x))&=&c\cdot\lim\limits_{x\to x_0}f( x)\;\;\text{f\"ur\;\;alle}\;\;c\in\mathbb{R}\end{array}\)

Grenzwerte von Funktionen können verwendet werden, um spezielle Grenzfälle (kleine Massen, kleines Massenverhältnis, große Abstände,...) zu berechnen.

Beim idealen elastischen Stoß von zwei Massen gelten der Energie- und der Impulserhaltungssatz:

\(\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{1}{2}m_1u_1^2+\displaystyle\frac{1}{2}m_2u_2^2&=&\displaystyle\frac{1}{2}m_1v_1^2+\displaystyle\frac{1}{2}m_2v_2^2\\m_1u_1+m_2u_2&=&m_1v_1+m_2v_2\end{array}\)

wobei \(u_1\), \(u_2\) die Geschwindigkeiten vor dem Stoß und \(v_1\), \(v_2\) die Geschwindigkeiten nach dem Stoß sind.

Durch algebraische Umformungen kann man aus diesen beiden Gleichungen die Geschwindigkeiten nach dem Stoß aus \(u_1\) und \(u_2\) berechnen:

\(\begin{array}{rcl}v_1&=&\displaystyle\frac{m_1u_1+m_2(-u_1+2u_2)}{m_1+m_2}\\v_2&=&\displaystyle\frac{m_1(2u_1-u_2)+m_2u_2}{m_1+m_2}\end{array}\)

Als Grenzfälle kann man beispielsweise den Fall betrachten, dass eine sehr viel größere Masse auf eine kleine trifft (\(m_2\to 0\)). Physikalisch ergibt der Grenzfall \(m_2=0\) natürlich keinen Sinn (was ist eine masselose Kugel?), aber die Geschwindigkeiten im Grenzfall \(m_2=0\)

\(\begin{array}{rcl}v_1&=&u_1\\v_2&=&2u_1-u_2\end{array}\)

sind eine gute Näherung für die Geschwindigkeiten bei \(m_2{\approx }0\)

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)

• Die Funktionen \(f+g\), \(f-g\) und \(f\cdot g\) sind stetig. Falls \(g(x)\neq 0\) für alle \(x\), dann ist auch \(f/g\) stetig

• die Hintereinanderausführung \(g\circ f\) ist stetig (vorausgesetzt, dass \(f(x)\) für alle \(x\) im Definitionsbereich von \(g\) liegt).

Achtung! Leider gibt es nicht nur Sprungstellen, die für die Unstetigkeit einer Funktion sorgen können, sondern auch andere Effekte, insbesondere starke Oszillationen. Selbst Wertetabellen können hier ziemlich in die Irre führen.

Betrachte als Beispiel dafür die Funktion \(f( x)=\sin \left(\displaystyle\frac {\pi }{x}\right)\) mit der harmlos aussehenden Wertetabelle

\(\lim\limits_{x{\to}0}\displaystyle\frac{\sin( x)}{x}=1\)

\(\sin(x)\leq x\leq\tan(x)\)

\(\cos(x)\leq\displaystyle\frac{\sin( x)}{x}{\leq}1\)

Der Grenzwert

\(\lim\limits_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin( x)}{x}=1\)

ist auch der Grund, warum man in vielen Situationen, in denen der Winkel \(x\) einigermaßen klein ist, \(\sin ( x)\) zur Vereinfachung durch \(x\) ersetzt.

So wird zum Beispiel aus der Differentialgleichung \(\ddot{x}+\displaystyle\frac {g}{\ell }\sin ( x)=0\), die sich nicht exakt explizit lösen lässt durch diese Vereinfachung der harmonische Oszillator \(\ddot{x}+\displaystyle\frac {g}{\ell }x=0\), dessen Lösungen viel leichter zu bestimmen sind.

• Kann ein Nenner Null werden?

• Kann unter einer Wurzel etwas Negatives stehen?

• Versucht man, den Logarithmus einer nicht-positiven Zahl zu bilden?

• Wenn die Funktion abschnittsweise definiert ist: Passen die Abschnitte "lückenlos" zusammen?