17.1: Allgemeines zu linearen Differentialgleichungen

Eine Gleichung für eine Funktion von einer Veränderlichen, die neben der Funktion selbst auch eine oder mehrere Ableitungen der gesuchten Funktion enthält, heißt (gewöhnliche) Differentialgleichung.

Als Ordnung der Differentialgleichung bezeichnet man die Ordnung der höchsten Ableitung, die in der Differentialgleichung vorkommt.

• \(y'''(x) - 2y''(x) + 4y(x) = \sin (x)\) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung für die gesuchte Funktion y(x).
• Die Gleichung \( x''(t) = -\omega^2\cdot x(t)\) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung für die Funktion \(x(t)\). In der Physik ist sie als Gleichung des harmonischen Oszillators bekannt. Sie entsteht in der Dynamik aus dem Newtonschen Gesetz "Kraft = Masse mal Beschleunigung", wenn man die Auslenkung \(x\) einer Masse \(m\), die an einer Feder der Federkonstante \(D\) hängt, beschreibt. Dabei ergibt sich \(\omega^2=\frac{D}{m}\).

• Dieselbe Differentialgleichung erhält man aber auch bei einem elektrischen Schwingkreis aus Kondensator und Spule, dort mit \(\omega^2=\frac{1}{LC}\), wobei \(C\) die Kapazit\"at des Kondensators und \(L\) die Induktivität der Spule sind und \(x\) der Spannung \(U\) entspricht.

• Man kann nachprüfen, dass beispielsweise \(x(t)=\sin(\omega t)\) eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.

• Das System

  \( \begin{array}{rcl}x'(t)&=&\phantom{-}y(t)\\y'(t)&=&-\omega^2\cdot x(t)\end{array} \)

  von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung lässt sich auch in der Form

  \( \left(\begin{array}{c}x'\,(t)\\y'\,(t)\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rr}0&1\\-\omega^2&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right) \)

  schreiben und ist eigentlich nichts anderes als das erste Beispiel. Um das einzusehen leitet man die erste Gleichung ab, erhält also $x''(t)=y'(t)$ und setzt diese Gleichung dann in die zweite Gleichung ein.

Überlegen Sie sich, wie man auf ähnliche Weise die Differentialgleichung 3. Ordnung \(y'''(x) - 2y''(x) + 4y(x) = \sin (x)\) von oben in ein System aus drei Differentialgleichungen 1. Ordnung umschreiben könnte.

Vielleicht wird Ihnen dabei schon klar, wie man aus einer Differentialgleichung n.Ordnung ganz allgemein ein System aus n Differentialgleichungen 1.Ordnung machen kann.